이 계산기는 무엇을 하나요?
카이제곱 분포는 통계학에서 가장 널리 쓰이는 분포 중 하나로, 적합도 검정, 분할표를 이용한 독립성 검정, 분산의 신뢰구간 추정 등의 기반이 됩니다. 이 도구는 분위점 x와 자유도 ν를 입력받아 세 가지 값을 고정밀로 계산합니다. 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 그리고 상측(꼬리) 확률 \(Q(X > x)\)입니다.
사용 방법
x에는 0 이상의 값을, 자유도 ν에는 양수 값을 입력하세요(보통 양의 정수를 쓰지만, 수식 자체는 정수가 아닌 ν에 대해서도 성립합니다). 그런 다음 계산 버튼을 누르면 됩니다. PDF는 정확히 x 지점에서의 상대적 가능도를 알려 주고, 하측 확률은 왼쪽 영역의 넓이(단측 하측 검정에서 p-값의 여집합)를 나타냅니다. 상측 확률은 오른쪽 꼬리의 넓이로, 대부분의 카이제곱 유의성 검정에서 보고하는 바로 그 p-값입니다.
공식 설명
확률밀도는 \(x > 0\)일 때 $$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$ 로 정의되며, 여기서 \(\Gamma\)는 감마 함수입니다. 누적확률은 정규화된 하측 불완전 감마 함수 \(P(k/2,\, x/2)\)와 같습니다. 본 계산기는 \(x/2 < k/2 + 1\)일 때는 급수 전개를, 그렇지 않을 때는 연분수 전개(Lentz 방법)를 사용하여 수치적으로 계산하며, 감마 함수는 안정성을 위해 Lanczos 로그-감마 근사로 평가합니다.
계산 예시
\(x = 2\), \(\nu = 3\)인 경우 \(a = k/2 = 1.5\), \(z = x/2 = 1\)로 둡니다. 확률밀도는 $$f = \exp[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)] \approx 0.20755$$ 입니다. 하측 확률 \(P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759\) 이므로, 상측 꼬리 확률은 \(Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241\) 이 됩니다.
자주 묻는 질문
자유도란 무엇인가요? 검정에서 자유도는 보통 범주의 수에서 제약 조건을 뺀 값과 같습니다. 예를 들어 분할표에서는 \((\text{행}-1)(\text{열}-1)\)이 됩니다.
어느 값이 p-값인가요? 표준적인 카이제곱 검정에서 p-값은 상측 누적확률 \(Q(X > x)\)입니다.
x가 0이거나 음수일 수도 있나요? \(x = 0\)에서 확률밀도는 ν 값에 따라 달라지고 누적확률은 0입니다. 음수 x는 정의역 밖이므로 \(f = 0\), \(P = 0\), \(Q = 1\)이 됩니다.
