연속된 정수 계산기란?
연속된 정수란 4, 5, 6, 7처럼 사이에 빈틈 없이 차례로 이어지는 정수들을 말합니다. 대수학에서 자주 나오는 문제 중 하나가 바로 "어떤 n개의 연속된 정수를 더하면 주어진 합 S가 될까?"입니다. 이 계산기는 그 답을 즉시 알려줍니다. 원하는 합과 정수의 개수만 입력하면, 수열의 시작 정수와 끝 정수를 곧바로 구해 줍니다.
사용 방법
먼저 정수들의 합이 되었으면 하는 합 (S)을 입력하고, 사용할 정수의 개수 (n)를 입력하세요. 그러면 수열의 첫 번째 정수와 마지막 정수가 계산됩니다. 만약 결과가 정수로 떨어지지 않는다면, 그 개수만큼의 연속된 정수로는 입력한 합을 만들 수 없다는 뜻이니 개수를 바꿔서 다시 시도해 보세요.
공식 풀이
a에서 시작하는 n개의 연속된 정수의 합은 다음과 같은 등차수열로 표현됩니다.
$$S = a + (a+1) + (a+2) + \dots + (a+n-1) = n\cdot a + \frac{n(n-1)}{2}.$$
이 식을 첫째 항에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$a = \frac{S - \dfrac{n(n-1)}{2}}{n}.$$
마지막 정수는 간단히 \(a + n - 1\) 입니다.
예제로 풀어보기
합이 100이 되는 5개의 연속된 정수를 구한다고 해 봅시다. 먼저 보정값 \(\frac{n(n-1)}{2} = \frac{5\cdot 4}{2} = 10\)을 계산합니다. 그러면 다음과 같습니다.
$$a = \frac{100 - 10}{5} = \frac{90}{5} = 18.$$
따라서 정수들은 18, 19, 20, 21, 22이고, 실제로 \(18+19+20+21+22 = 100\)이 됩니다. 마지막 정수는 \(18 + 5 - 1 = 22\) 입니다.
자주 묻는 질문
시작값이 왜 소수로 나오나요? 소수가 나온다는 것은 그 합을 만드는 n개의 연속된 정수가 존재하지 않는다는 뜻입니다. 예를 들어 두 개의 연속된 정수의 합은 항상 홀수이므로, 합이 100이 되는 2개의 연속된 정수는 없습니다.
정수가 음수일 수도 있나요? 네, 가능합니다. 개수에 비해 합이 작으면 수열에 음수나 0이 포함될 수 있습니다.
연속된 짝수나 홀수에도 사용할 수 있나요? 이 계산기는 1씩 증가하는 일반적인 연속 정수를 다룹니다. 짝수나 홀수처럼 간격이 다른 경우에는 별도의 공식이 필요합니다.
