제곱의 합이란?
처음 n개 자연수의 제곱의 합이란 1부터 n까지 각 정수를 제곱한 뒤 모두 더한 값을 말합니다. 즉 \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\)입니다. 한 항씩 일일이 더하지 않아도, n이 아무리 크더라도 단번에 답을 구할 수 있는 유명한 닫힌 공식(closed-form)이 있습니다.
공식 풀이
간결하게 정리된 항등식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$
여기서 n은 수열의 가장 큰 정수입니다. n에 (n+1)과 (2n+1)을 차례로 곱한 뒤 6으로 나누면 됩니다. 이 세 인수의 곱은 항상 6으로 나누어떨어지므로 결과는 언제나 정수가 됩니다. 이 계산기는 함께 쓰이는 정수의 합 \(n(n+1)/2\)와 제곱들의 평균도 같이 보여 줍니다.
계산기 사용법
수열의 마지막 정수인 상한값 n을 입력하면 정확한 합이 즉시 나옵니다. 숙제를 검산하거나 코드를 검증할 때, 혹은 통계 작업의 속도를 높일 때 유용합니다. 제곱의 합은 분산, 표준편차, 회귀분석 공식에 자주 등장하기 때문입니다.
예제로 풀어 보기
n = 5라고 해 봅시다. 각 항은 1, 4, 9, 16, 25이고 합은 55입니다. 공식을 적용하면 $$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$가 됩니다. 닫힌 공식의 결과가 직접 더한 값과 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
어떤 n에도 적용되나요? 네, 모든 양의 정수 n에 대해 성립합니다. 아주 큰 값이라도 공식 덕분에 즉시 계산됩니다.
왜 6으로 나누나요? \(n(n+1)(2n+1)\)의 곱은 항상 6의 배수이기 때문입니다. 그래서 공식의 결과가 늘 정수로 떨어집니다.
0을 포함해도 되나요? \(0^2 = 0\)이므로 0을 더해도 합은 달라지지 않습니다. 0을 세든 세지 않든 같은 n에 대한 결과는 동일합니다.
