ما هو مجموع المربعات؟
مجموع مربعات أول n عدد صحيح موجب هو الناتج الذي تحصل عليه عند تربيع كل عدد صحيح من 1 حتى n ثم جمع النتائج معًا: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\). وبدلًا من جمع كل حدٍّ على حدة، يمكنك الاستعانة بصيغة مغلقة شهيرة تمنحك الإجابة في خطوة واحدة مهما كانت قيمة n كبيرة.
شرح الصيغة
المتطابقة المختصرة هي:
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$
هنا يمثّل n أكبر عدد صحيح في متتاليتك. اضرب n في \((n+1)\) ثم في \((2n+1)\)، وبعدها اقسم على 6. تكون النتيجة دائمًا عددًا صحيحًا، لأن حاصل ضرب هذه العوامل الثلاثة يقبل القسمة على 6 على الدوام. كما تعرض هذه الحاسبة مجموع الأعداد المرتبط بذلك، أي \(n(n+1)/2\)، إضافة إلى متوسط المربعات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الحد الأعلى n — وهو آخر عدد صحيح في السلسلة — لتعيد لك الأداة المجموع الدقيق على الفور. استعن بها للتحقق من واجباتك المنزلية، أو لمراجعة أكوادك البرمجية، أو لتسريع أعمالك الإحصائية، فمجاميع المربعات تظهر في صيغ التباين والانحراف المعياري والانحدار.
مثال محلول
لنفترض أن \(n = 5\). تكون الحدود 1 و4 و9 و16 و25، ومجموعها 55. وباستخدام الصيغة: $$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$ كما ترى، تتطابق الصيغة المغلقة تمامًا مع الجمع المباشر.
الأسئلة الشائعة
هل تعمل الصيغة مع أي قيمة لـ n؟ نعم — مع أي عدد صحيح موجب n. وحتى القيم الكبيرة جدًا تُحسب فورًا بفضل الصيغة المغلقة.
لماذا نقسم على 6؟ لأن حاصل الضرب \(n(n+1)(2n+1)\) يكون دائمًا من مضاعفات الرقم 6، وهذا ما يجعل الصيغة تعطي عددًا صحيحًا.
هل يمكنني إدراج الصفر؟ إضافة \(0^2 = 0\) لا تغيّر المجموع، لذا تبقى النتيجة لقيمة n نفسها سواء عددت الصفر أم لا.
