整数平方和计算器

输入计算

上限 (n)

结果

平方和 1² + 2² + … + n²

385

for n = 10

整数之和 (1+2+…+n)	55
平方数的平均值	38.5

什么是平方和？

前 n 个正整数的平方和，就是把从 1 到 n 的每个整数分别平方后再相加得到的总和：\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2\)。其实不必一项一项地慢慢累加，借助一个著名的求和公式，无论 n 有多大，都能一步算出答案。

平方和就是把边长为 1、2、3 直到 n 的正方形面积加起来。

公式解析

这个简洁的恒等式为：

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$

其中 n 是数列中最大的整数。先把 n 乘以 \((n+1)\)，再乘以 \((2n+1)\)，最后除以 6。结果必定是整数，因为这三个因子的乘积总能被 6 整除。本计算器还会同时给出相关的整数之和 \(\frac{n(n+1)}{2}\)，以及这些平方数的平均值。

Advertisement

封闭公式无需逐项相加，直接得出结果。

如何使用本计算器

输入上限 n（也就是数列中的最后一个整数），工具便会即时返回精确的平方和。你可以用它来检查作业、验证代码，或加快统计计算——因为平方和在方差、标准差和回归分析的公式中都会频繁出现。

实例演示

假设 n = 5。各项为 1、4、9、16、25，相加得 55。用公式计算：$$5 \times 6 \times 11 / 6 = 330 / 6 = 55$$可见公式与逐项相加的结果完全一致。

常见问题

这个公式对任意 n 都适用吗？ 是的——只要 n 是正整数即可。由于使用了封闭公式，即使 n 非常大也能瞬间算出。

为什么要除以 6？ 因为乘积 \(n(n+1)(2n+1)\) 永远是 6 的倍数，所以公式得到的结果一定是整数。

可以把 0 算进去吗？ 加上 \(0^2 = 0\) 并不会改变总和，所以无论是否把 0 计入，n 对应的结果都保持不变。