Kareler toplamı nedir?
İlk n pozitif tam sayının kareler toplamı, 1'den n'ye kadar her tam sayının karesini alıp bu sonuçları birbirine ekleyerek elde ettiğiniz değerdir: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\). Her terimi tek tek toplamak yerine, n ne kadar büyük olursa olsun sonucu tek adımda veren ünlü bir kapalı formül kullanabilirsiniz.
Formülün açıklaması
Kısa ve öz özdeşlik şöyledir:
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Burada n, dizinizdeki en büyük tam sayıdır. n'yi (n+1) ve (2n+1) ile çarpın, ardından 6'ya bölün. Bu üç çarpanın çarpımı her zaman 6'ya tam bölündüğü için sonuç daima bir tam sayı çıkar. Bu hesaplama aracı ayrıca ilgili tam sayılar toplamını, yani \(\frac{n(n+1)}{2}\) değerini ve karelerin ortalamasını da gösterir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Üst sınır n değerini — yani serideki son tam sayıyı — girin; araç kesin toplamı anında verir. Ödevlerinizi kontrol etmek, kodunuzu doğrulamak veya istatistik çalışmalarınızı hızlandırmak için kullanın; çünkü kareler toplamı varyans, standart sapma ve regresyon formüllerinde sıkça karşımıza çıkar.
Çözümlü örnek
Diyelim ki \(n = 5\). Terimler 1, 4, 9, 16, 25 olup toplamları 55'tir. Formülü kullanarak: $$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55.$$ Kapalı formül, doğrudan toplama ile birebir aynı sonucu verir.
Sıkça Sorulan Sorular
Her n için çalışır mı? Evet — her pozitif tam sayı n için çalışır. Çok büyük değerler bile formül sayesinde anında hesaplanır.
Neden 6'ya bölünüyor? \(n(n+1)(2n+1)\) çarpımı her zaman 6'nın bir katıdır; formülün bir tam sayı vermesinin nedeni de budur.
0'ı da dahil edebilir miyim? \(0^2 = 0\) eklemek toplamı değiştirmez; dolayısıyla sıfırı saysanız da saymasanız da n için sonuç aynı kalır.
