Qu'est-ce que la somme des carrés ?
La somme des carrés des n premiers entiers positifs correspond au total obtenu en élevant au carré chaque entier de 1 jusqu'à n, puis en additionnant tous ces résultats : \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\). Plutôt que d'additionner chaque terme un par un, vous pouvez utiliser une célèbre formule fermée qui donne la réponse en une seule étape, quelle que soit la taille de n.
La formule expliquée
L'identité, sous sa forme la plus compacte, s'écrit :
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$
Ici, n désigne le plus grand entier de votre suite. Multipliez n par \((n+1)\) puis par \((2n+1)\), et divisez le tout par 6. Le résultat est toujours un nombre entier, car le produit de ces trois facteurs est systématiquement divisible par 6. Ce calculateur affiche aussi la somme des entiers correspondante, \(\frac{n(n+1)}{2}\), ainsi que la moyenne des carrés.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la borne supérieure n — c'est-à-dire le dernier entier de la série — et l'outil renvoie aussitôt la somme exacte. Pratique pour vérifier un devoir, contrôler un bout de code ou accélérer vos calculs statistiques, puisque les sommes de carrés interviennent dans les formules de variance, d'écart-type et de régression.
Exemple résolu
Prenons \(n = 5\). Les termes sont 1, 4, 9, 16 et 25, dont la somme vaut 55. Avec la formule :
$$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$La forme fermée coïncide parfaitement avec l'addition directe.
FAQ
Cela fonctionne-t-il pour n'importe quel n ? Oui — pour tout entier positif n. Même les très grandes valeurs se calculent instantanément grâce à la formule.
Pourquoi diviser par 6 ? Le produit \(n(n+1)(2n+1)\) est toujours un multiple de 6 : c'est pour cette raison que la formule donne un nombre entier.
Puis-je inclure 0 ? Ajouter \(0^2 = 0\) ne change rien à la somme : le résultat pour n reste le même, que vous comptiez zéro ou non.
