整數平方和計算機

輸入計算

上限 (n)

結果

平方和 1² + 2² + … + n²

385

for n = 10

整數和 (1+2+…+n)	55
平方的平均值	38.5

什麼是平方和？

前 n 個正整數的平方和，就是把 1 到 n 之間每個整數各自平方後再全部加起來：1² + 2² + 3² + … + n²。與其逐項相加，你其實可以套用一條著名的封閉公式，不論 n 有多大，都能一步算出答案。

平方和就是把邊長為 1、2、3 直到 n 的正方形面積加起來。

公式解析

這條簡潔的恆等式為：

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$

其中 \(n\) 是數列中最大的整數。把 \(n\) 乘以 \((n+1)\) 再乘以 \((2n+1)\)，最後除以 6 即可。由於這三個因數的乘積必定能被 6 整除，所以結果一定是整數。本計算機同時會列出相關的整數和 \(n(n+1)/2\)，以及平方的平均值。

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封閉公式無需逐項相加，直接得出結果。

如何使用本計算機

輸入上限 \(n\)——也就是數列中的最後一個整數——工具就會立即回傳精確的平方和。你可以用它來檢查作業、驗證程式碼，或加快統計計算的速度，因為平方和會出現在變異數、標準差與迴歸分析等公式中。

實例演算

假設 \(n = 5\)，各項為 1、4、9、16、25，加總後為 55。套用公式：$$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$封閉公式的結果與直接相加完全吻合。

常見問題

任何 n 都適用嗎？是的——只要是正整數 \(n\) 都可以。即使是非常大的數值，靠這條公式也能瞬間算出。

為什麼要除以 6？乘積 \(n(n+1)(2n+1)\) 必定是 6 的倍數，因此公式的結果一定是整數。

可以把 0 算進去嗎？由於 \(0^2 = 0\) 不會改變總和，所以不管有沒有把零算進去，\(n\) 對應的結果都一樣。