Tổng bình phương là gì?
Tổng bình phương của n số nguyên dương đầu tiên là kết quả bạn nhận được khi bình phương từng số nguyên từ 1 đến n rồi cộng tất cả lại: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\). Thay vì cộng lần lượt từng số hạng, bạn có thể dùng một công thức rút gọn nổi tiếng để tìm ra đáp án chỉ trong một bước, dù n có lớn đến đâu.
Giải thích công thức
Công thức gọn gàng đó là:
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$
Trong đó n là số nguyên lớn nhất trong dãy của bạn. Hãy nhân n với \((n+1)\) và với \((2n+1)\), sau đó chia cho 6. Kết quả luôn là một số nguyên, bởi tích của ba thừa số này luôn chia hết cho 6. Máy tính này còn cung cấp thêm tổng các số nguyên liên quan, \(\frac{n(n+1)}{2}\), cùng giá trị trung bình của các bình phương.
Cách dùng máy tính này
Chỉ cần nhập giới hạn trên n — tức số nguyên cuối cùng trong dãy — và công cụ sẽ trả về tổng chính xác ngay lập tức. Bạn có thể dùng nó để kiểm tra bài tập, đối chiếu kết quả khi lập trình, hoặc đẩy nhanh các bài toán thống kê, vì tổng bình phương xuất hiện trong các công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn và hồi quy.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(n = 5\). Các số hạng là 1, 4, 9, 16, 25, cộng lại bằng 55. Áp dụng công thức:
$$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$
Công thức rút gọn cho ra kết quả khớp hoàn toàn với cách cộng trực tiếp.
Câu hỏi thường gặp
Công thức này có đúng với mọi n không? Có — đúng với mọi số nguyên dương n. Ngay cả những giá trị rất lớn cũng được tính ra tức thì nhờ công thức.
Tại sao lại chia cho 6? Vì tích \(n(n+1)(2n+1)\) luôn là bội của 6, nên công thức luôn cho ra một số nguyên.
Tôi có thể tính cả số 0 không? Cộng thêm \(0^2 = 0\) không làm thay đổi tổng, nên kết quả với n vẫn giữ nguyên dù bạn có tính số 0 hay không.
