Что такое сумма квадратов?
Сумма квадратов первых n натуральных чисел — это число, которое получается, если возвести в квадрат каждое целое число от 1 до n и сложить все результаты: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\). Чтобы не складывать слагаемые вручную по одному, можно воспользоваться известной формулой, которая даёт ответ за один шаг — каким бы большим ни было n.
Разбор формулы
Компактное тождество выглядит так:
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$
Здесь n — наибольшее целое число в вашей последовательности. Умножьте n на \((n+1)\) и на \((2n+1)\), а затем разделите на 6. Результат всегда получается целым числом, потому что произведение этих трёх множителей всегда делится на 6. Этот калькулятор также показывает связанную с ним сумму чисел \(\frac{n(n+1)}{2}\) и среднее значение квадратов.
Как пользоваться калькулятором
Введите верхнюю границу n — последнее целое число ряда — и инструмент мгновенно выдаст точную сумму. Это удобно, чтобы проверить домашнее задание, протестировать код или ускорить расчёты в статистике: суммы квадратов встречаются в формулах дисперсии, стандартного отклонения и регрессии.
Пример с решением
Пусть \(n = 5\). Слагаемые равны 1, 4, 9, 16, 25, а их сумма — 55. По формуле: $$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55.$$ Закрытая формула в точности совпадает с прямым сложением.
Частые вопросы
Подходит ли формула для любого n? Да — для любого натурального числа n. Даже очень большие значения вычисляются мгновенно благодаря формуле.
Почему делим именно на 6? Произведение \(n(n+1)(2n+1)\) всегда кратно 6, поэтому формула и даёт целое число.
Можно ли учитывать 0? Прибавление \(0^2 = 0\) не меняет сумму, так что результат для n остаётся одним и тем же — учитываете вы ноль или нет.
