¿Qué es la suma de cuadrados?
La suma de cuadrados de los primeros n números enteros positivos es el total que obtienes al elevar al cuadrado cada número entero, desde el 1 hasta n, y sumar todos los resultados: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\). En lugar de ir sumando término a término, puedes recurrir a una conocida fórmula cerrada que te da la respuesta en un solo paso, por muy grande que sea n.
La fórmula explicada
La identidad compacta es:
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$
Aquí n es el mayor número entero de tu secuencia. Multiplica n por \((n+1)\) y por \((2n+1)\), y luego divide entre 6. El resultado siempre es un número entero, porque el producto de estos tres factores es siempre divisible entre 6. Esta calculadora también muestra la suma de enteros relacionada, \(\frac{n(n+1)}{2}\), así como la media de los cuadrados.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el límite superior n —el último entero de la serie— y la herramienta te devuelve la suma exacta al instante. Te resultará útil para comprobar tareas, verificar código o agilizar el trabajo estadístico, ya que las sumas de cuadrados aparecen en las fórmulas de la varianza, la desviación estándar y la regresión.
Ejemplo resuelto
Supongamos que n = 5. Los términos son 1, 4, 9, 16 y 25, que suman 55. Aplicando la fórmula:
$$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$
La fórmula cerrada coincide a la perfección con la suma directa.
Preguntas frecuentes
¿Funciona con cualquier valor de n? Sí, con cualquier número entero positivo n. Incluso los valores muy grandes se calculan al instante gracias a la fórmula.
¿Por qué se divide entre 6? El producto \(n(n+1)(2n+1)\) es siempre un múltiplo de 6, y por eso la fórmula da como resultado un número entero.
¿Puedo incluir el 0? Sumar \(0^2 = 0\) no altera el total, así que el resultado para n es el mismo tanto si cuentas el cero como si no.
