平方和とは？
1 から n までの整数の平方和とは、1 から n までの各自然数を 2 乗して、それらをすべて足し合わせた値のことです。つまり 1² + 2² + 3² + … + n² を求めるわけです。1 項ずつ順番に足していくこともできますが、n がどれだけ大きくても一度で答えが出る有名な「閉じた公式」を使えば、はるかにスマートに計算できます。
公式の解説
コンパクトに表すと、次の等式が成り立ちます。
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$
ここで \(n\) は数列の最大の整数です。\(n\) に \((n+1)\) と \((2n+1)\) を掛け合わせ、それを 6 で割るだけ。この 3 つの因数の積は必ず 6 で割り切れるため、結果は常に整数になります。本計算機では、関連する整数の和 \(\frac{n(n+1)}{2}\) や、平方の平均値もあわせて表示します。
使い方
数列の最後の整数である上限 \(n\) を入力すると、正確な合計が瞬時に返ってきます。宿題の答え合わせ、プログラムの検算、あるいは統計作業のスピードアップに便利です。平方和は分散・標準偏差・回帰分析の式にも登場するため、実務でも活躍します。
計算例
たとえば \(n = 5\) の場合を考えてみましょう。各項は 1, 4, 9, 16, 25 で、合計は 55 になります。公式を使うと $$\frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55.$$ 閉じた公式の結果が、直接足し算した値とぴったり一致していることがわかります。
よくある質問
どんな n でも使えますか？ はい。正の自然数 \(n\) であれば何でも対応します。公式のおかげで、非常に大きな値でも一瞬で計算できます。
なぜ 6 で割るのですか？ 積 \(n(n+1)(2n+1)\) は必ず 6 の倍数になるため、公式の結果は整数になるのです。
0 を含めてもいいですか？ \(0^2 = 0\) を足しても合計は変わりません。したがって 0 を数えても数えなくても、\(n\) に対する結果は同じです。
