Qu'est-ce que le théorème du reste ?
Le théorème du reste est un résultat fondamental de l'algèbre : lorsqu'on divise un polynôme \(P(x)\) par un facteur linéaire \((x - c)\), le reste de cette division vaut exactement \(P(c)\). Autrement dit, inutile d'effectuer toute la division euclidienne des polynômes pour trouver le reste — il suffit de remplacer \(x\) par \(c\) dans le polynôme et de calculer la valeur. Ce calculateur s'en charge pour vous en un instant.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les coefficients de votre polynôme, du terme de plus haut degré jusqu'au terme constant, séparés par des virgules ou des espaces. Pensez à inscrire un zéro pour chaque terme manquant. Par exemple, \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) ne possède pas de terme en \(x\) : vous entrerez donc 2, -3, 0, 5. Indiquez ensuite la valeur de \(c\) issue du diviseur \((x - c)\). Si votre diviseur est \((x + 4)\), alors \(c = -4\). Cliquez sur Calculer pour obtenir le reste \(P(c)\).
La formule expliquée
Le théorème énonce que \(R = P(c)\). En interne, nous utilisons la méthode de Horner, qui réécrit le polynôme sous forme emboîtée afin d'obtenir la valeur avec le minimum de multiplications et une meilleure stabilité numérique. On part de 0 puis, pour chaque coefficient, on multiplie le total courant par \(c\) et on ajoute le coefficient suivant. Le total final correspond à \(P(c)\), c'est-à-dire au reste.
$$\text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i \,\text{c}^{\,n-i}$$Exemple résolu
Soit \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\), que l'on divise par \((x - 2)\), donc \(c = 2\). Déroulons le calcul étape par étape avec Horner : on commence à 0 ; \(\times 2 + 2 = 2\) ; \(\times 2 + (-3) = 1\) ; \(\times 2 + 0 = 2\) ; \(\times 2 + 5 = 9\). Ainsi \(P(2) = 9\), et le reste vaut 9. On peut le vérifier par substitution directe :
$$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9$$
FAQ
Que se passe-t-il si le reste est nul pour un certain \(c\) ? Si \(P(c) = 0\), alors \((x - c)\) divise \(P(x)\) sans reste — \(c\) est une racine et \((x - c)\) est un facteur (c'est le théorème du facteur).
Comment saisir \((x + 3)\) comme diviseur ? Réécrivez \(x + 3\) sous la forme \(x - (-3)\), puis entrez \(c = -3\).
Dois-je indiquer tous les coefficients ? Oui — ajoutez un 0 pour chaque puissance manquante afin que les positions restent correctement alignées.
