Kalan Teoremi nedir?
Kalan Teoremi, cebirin temel sonuçlarından biridir: Bir \(P(x)\) polinomunu \((x - c)\) şeklindeki bir doğrusal çarpana böldüğünüzde, bu bölmeden kalan değer tam olarak \(P(c)\)’ye eşittir. Yani kalanı bulmak için uzun polinom bölmesi yapmanıza gerek yoktur; yalnızca \(c\) değerini polinomda yerine koyup sonucu hesaplamanız yeterlidir. Bu hesaplama aracı tüm bu işlemi sizin için saniyeler içinde yapar.
Bu araç nasıl kullanılır?
Polinomunuzun katsayılarını en yüksek dereceli terimden sabit terime doğru, virgül veya boşlukla ayırarak girin. Eksik terimler için mutlaka sıfır eklemeyi unutmayın. Örneğin \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) polinomunda \(x\) terimi bulunmadığından, girişiniz 2, -3, 0, 5 şeklinde olmalıdır. Ardından bölen ifadeden \((x - c)\) elde edilen \(c\) değerini yazın. Bölen ifadeniz \((x + 4)\) ise \(c = -4\) olur. Son olarak hesapla düğmesine basarak \(P(c)\) kalanını görün.
Formülün açıklaması
Teorem, \(R = P(c)\) eşitliğini ifade eder.
$$\text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i\,\text{c}^{\,n-i}$$Hesaplamada içsel olarak Horner yöntemini kullanırız; bu yöntem polinomu iç içe (yuvalanmış) biçimde yeniden yazarak değeri en az çarpma işlemiyle ve en yüksek sayısal kararlılıkla bulmamızı sağlar. Sıfırdan başlayarak, her katsayı için elde edilen ara toplamı \(c\) ile çarpar ve bir sonraki katsayıyı ekleriz. Son toplam, \(P(c)\) değerine ve dolayısıyla kalana eşittir.
Çözümlü örnek
\(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) olsun ve bunu \((x - 2)\) ile bölelim; bu durumda \(c = 2\) olur. Horner yöntemiyle adım adım hesaplayalım: başlangıç \(0\); \(\times 2 + 2 = 2\); \(\times 2 + (-3) = 1\); \(\times 2 + 0 = 2\); \(\times 2 + 5 = 9\). Buna göre \(P(2) = 9\) ve kalan 9 olur. Doğrudan yerine koyarak da doğrulayabilirsiniz:
$$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9$$
Sıkça Sorulan Sorular
Kalanın sıfır çıkması ne anlama gelir? Eğer \(P(c) = 0\) ise, \((x - c)\) ifadesi \(P(x)\)’i tam olarak böler; yani \(c\) bir köktür ve \((x - c)\) bir çarpandır (Çarpanlara Ayırma Teoremi / Factor Theorem).
Bölen olarak \((x + 3)\) ifadesini nasıl girerim? \(x + 3\) ifadesini \(x - (-3)\) biçiminde yeniden yazın ve \(c = -3\) olarak girin.
Her katsayıyı girmek zorunda mıyım? Evet. Eksik olan her kuvvet için \(0\) ekleyin; böylece tüm değerler doğru konumlarda hizalanır.
