什么是余数定理？
余数定理是代数中的一条基础定理：当多项式 \(P(x)\) 除以一次因式 \((x-c)\) 时，所得的余数恰好等于 \(P(c)\)。也就是说，你无需进行繁琐的多项式长除法，只要把 \(c\) 代入多项式求值即可得到余数。本计算器能瞬间帮你完成这一计算。
如何使用本计算器
请按照从最高次项到常数项的顺序输入多项式的各项系数，用逗号或空格隔开。注意：缺项也要补 0。例如 \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) 中没有一次项 \(x\)，因此应输入 2, -3, 0, 5。接着输入除式 \((x-c)\) 中的 \(c\) 值。如果除式是 \((x+4)\)，那么 \(c = -4\)。点击计算即可得到余数 \(P(c)\)。
公式详解
余数定理可表述为 $$\text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i\,\text{c}^{\,n-i}$$ 其中 $$\left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients} \\ c &= \text{Divisor value (from } x - c) \end{aligned} \right.$$ 在内部计算时，我们采用秦九韶算法（霍纳法，Horner’s method），将多项式改写为嵌套形式，从而以最少的乘法次数完成求值，并获得最佳的数值稳定性。计算从 0 开始，对每个系数：先把当前累加值乘以 \(c\)，再加上下一个系数。最终得到的结果就是 \(P(c)\)，也就是余数。
实例演算
设 \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\)，除以 \((x-2)\)，即 \(c = 2\)。用秦九韶算法逐步计算：从 0 开始；\(\times 2 + 2 = 2\)；\(\times 2 + (-3) = 1\)；\(\times 2 + 0 = 2\)；\(\times 2 + 5 = 9\)。所以 \(P(2) = 9\)，余数即为 9。也可以直接代入验证：$$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9$$
常见问题
如果 c 使余数为零会怎样？ 如果 \(P(c) = 0\)，说明 \((x-c)\) 能整除 \(P(x)\)——此时 \(c\) 是多项式的一个根，\((x-c)\) 是它的一个因式（这就是因式定理）。
除式是 (x+3) 时该如何输入？ 把 \(x + 3\) 改写成 \(x - (-3)\)，因此输入 \(c = -3\)。
每一项的系数都要输入吗？ 是的——任何缺失的幂次都要补上 0，这样各系数的位置才能正确对齐。
