什么是切比雪夫定理？
切比雪夫定理（又称切比雪夫不等式）能告诉你：在距离均值若干倍标准差的范围内，数据至少会占多大比例——这是一个下限保证，而且对任何分布都成立，无论数据多么偏斜或形状多么不规则。与只适用于钟形（正态）分布的经验法则不同，切比雪夫给出的界限放之四海而皆准。
如何使用本计算器
输入 k，也就是你关心的"距离均值有几倍标准差"。计算器会返回保证落在该区间内的观测值最小比例（含百分比），以及最多可能落在区间之外的比例。请注意，k 必须大于 1 才能得到有意义的正向界限——当 k = 1 时，定理什么也保证不了（0%）。
公式详解
定理表述如下：
$$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^{2}}$$
其中 \(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差，\(k\) 是标准差的倍数。\(1 - \frac{1}{k^{2}}\) 即落在区间 \((\mu - k\sigma,\ \mu + k\sigma)\) 内数据的最小保证比例；其补集 \(\frac{1}{k^{2}}\) 则是最多可能落在区间之外的比例。
实例演算
假设 \(k = 2\)，则 $$1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75$$ 也就是说，无论分布形状如何，至少有 75% 的数据落在均值 ±2 倍标准差范围内，最多只有 25% 落在范围之外。若 \(k = 3\)，下限则为 \(1 - \frac{1}{9} \approx 88.89\%\)。
常见问题
为什么 k 一定要大于 1？ 当 \(k = 1\) 时，界限为 \(1 - \frac{1}{1} = 0\)，等于什么都没保证；只要 \(k < 1\)，界限就会变成负数、毫无意义，因此计算器会显示 0%。
它和经验法则有什么区别？ 经验法则（68-95-99.7 法则）给出的是近似百分比，但仅适用于正态分布。切比雪夫定理则为所有分布提供一个有保证的下限，因此它的百分比总是更小、更保守。
k 可以是小数吗？ 可以。\(k\) 能取任何大于 1 的值，比如 1.5 或 2.5；公式 \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) 对非整数的 \(k\) 同样成立。
