¿Qué es el teorema de Chebyshev?
El teorema de Chebyshev (también conocido como desigualdad de Chebyshev) indica la proporción mínima de datos que necesariamente cae dentro de un determinado número de desviaciones típicas respecto a la media, y lo hace para cualquier distribución, por muy asimétrica o irregular que sea su forma. A diferencia de la regla empírica, que solo es válida para datos con forma de campana (normales), la cota de Chebyshev se cumple siempre.
Cómo usar esta calculadora
Introduce k, el número de desviaciones típicas respecto a la media que te interesa. La calculadora devuelve la fracción mínima (y el porcentaje) de observaciones que tienen garantizado situarse dentro de ese intervalo, además de la fracción máxima que puede quedar fuera. Ten en cuenta que k debe ser mayor que 1 para obtener una cota positiva con sentido: en \(k = 1\) el teorema no garantiza nada (0 %).
La fórmula explicada
El teorema establece que:
$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^{2}}$$
Aquí \(\mu\) es la media, \(\sigma\) es la desviación típica y \(k\) es el número de desviaciones típicas. El valor \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) representa la proporción mínima garantizada dentro del intervalo \((\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)\). Su complemento, \(\frac{1}{k^{2}}\), es la proporción máxima que puede quedar fuera.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(k = 2\). Entonces $$1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75.$$ Por tanto, al menos el 75 % de todos los valores se sitúa dentro de 2 desviaciones típicas de la media, y como mucho el 25 % queda fuera, sea cual sea la forma de la distribución. Para \(k = 3\), la cota es \(1 - \frac{1}{9} \approx 88{,}89\%\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué k tiene que ser mayor que 1? En \(k = 1\) la cota es \(1 - \frac{1}{1} = 0\), lo que no garantiza nada. Para cualquier \(k < 1\) la cota sería negativa y carecería de sentido, por lo que la calculadora muestra 0 %.
¿En qué se diferencia de la regla empírica? La regla empírica (68-95-99,7) ofrece porcentajes aproximados, pero solo para distribuciones normales. El teorema de Chebyshev proporciona una cota inferior garantizada para cualquier distribución, así que sus porcentajes siempre son menores (más conservadores).
¿Puede k ser un número decimal? Sí. \(k\) puede tomar cualquier valor mayor que 1, como 1,5 o 2,5; la fórmula \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) también funciona con valores no enteros.
