¿Qué es el teorema de Bayes?
El teorema de Bayes explica cómo actualizar la probabilidad de una hipótesis A cuando aparece una nueva evidencia B. Transforma una creencia previa (prior) en una creencia posterior, sopesando cuán probable es la evidencia bajo la hipótesis frente a su probabilidad global. Es un pilar de la estadística, el aprendizaje automático, el diagnóstico médico, los filtros antispam y, en general, de toda decisión racional bajo incertidumbre.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres probabilidades, cada una entre 0 y 1:
- P(A) — la probabilidad previa de que la hipótesis sea cierta (por ejemplo, la prevalencia de una enfermedad).
- P(B|A) — la verosimilitud: la probabilidad de observar la evidencia cuando A es cierta (por ejemplo, la sensibilidad de una prueba).
- P(B|¬A) — la tasa de falsos positivos: la probabilidad de la evidencia cuando A es falsa.
La calculadora obtiene automáticamente la probabilidad total de la evidencia P(B) mediante el teorema de la probabilidad total y, después, devuelve la probabilidad posterior P(A|B).
La fórmula, paso a paso
La ecuación central es \(P(A \mid B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\). Como pocas veces conocemos \(P(B)\) directamente, la desarrollamos así: $$P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|¬A) \cdot \left(1 - P(A)\right)$$ De este modo combinamos la aportación de los verdaderos positivos y la de los falsos positivos para saber con qué frecuencia aparece la evidencia en total.
$$P(A \mid B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|¬A) \cdot \left(1 - P(A)\right)}$$
Ejemplo resuelto
Imagina una enfermedad que afecta al 1 % de la población, de modo que \(P(A) = 0{,}01\). Una prueba detecta correctamente a las personas enfermas el 90 % de las veces, \(P(B|A) = 0{,}9\), pero también tiene una tasa de falsos positivos del 8 %, \(P(B|¬A) = 0{,}08\). Entonces $$P(B) = 0{,}9 \times 0{,}01 + 0{,}08 \times 0{,}99 = 0{,}009 + 0{,}0792 = 0{,}0882$$ La probabilidad posterior es $$P(A \mid B) = \frac{0{,}009}{0{,}0882} \approx 0{,}102$$ es decir, alrededor del 10,2 %. A pesar de un resultado «positivo», lo más probable es que el paciente esté sano: un ejemplo clásico del olvido de la tasa base.
Cómo cambia la distribución posterior entre escenarios
El teorema de Bayes combina una probabilidad a priori \(P(A)\), una tasa de verdaderos positivos (probabilidad) \(P(B \mid A)\), y una tasa de falsos positivos \(P(B \mid \neg A)\) en una distribución posterior actualizada \(P(A \mid B)\). La característica más sorprendente del resultado es su sensibilidad a la tasa base \(P(A)\): cuando una condición es rara, incluso una prueba altamente precisa produce una distribución posterior baja. La tabla siguiente mantiene las características de la prueba fijas en algunos lugares y varía las entradas para hacer esa dependencia visible.
| Escenario | A priori P(A) | Probabilidad P(B|A) | Falsos positivos P(B|¬A) | Posterior P(A|B) |
|---|---|---|---|---|
| Condición rara, prueba precisa | 0.01 | 0.99 | 0.05 | 0.1667 |
| Condición rara, tasa de falsos positivos menor | 0.01 | 0.99 | 0.01 | 0.5 |
| Tasa base moderada, prueba precisa | 0.10 | 0.99 | 0.05 | 0.6875 |
| Condición común, prueba precisa | 0.50 | 0.99 | 0.05 | 0.9519 |
| Condición rara, tasa de falsos positivos alta | 0.01 | 0.90 | 0.20 | 0.0435 |
Leyendo las dos primeras filas se observa que reducir la tasa de falsos positivos de 0.05 a 0.01 eleva la distribución posterior de aproximadamente el 17% al 50% aunque la tasa base y la sensibilidad no cambien. Leyendo las filas uno, tres y cuatro se ve que conforme la probabilidad a priori aumenta del 1% al 50%, la misma prueba impulsa la distribución posterior del 17% hasta aproximadamente el 95%. La última fila demuestra el extremo opuesto: una condición rara combinada con una tasa de falsos positivos alta mantiene la distribución posterior por debajo del 5% a pesar de una tasa de verdaderos positivos del 90%.
Interpretación de su probabilidad posterior
La distribución posterior \(P(A \mid B)\) es la probabilidad de que la hipótesis \(A\) sea verdadera después de haber observado la evidencia \(B\). Responde la pregunta práctica "dado este resultado positivo, ¿qué probabilidad hay de que la condición esté realmente presente?" — que es normalmente lo que quiere saber quien toma decisiones.
Es importante no confundir la distribución posterior con la probabilidad \(P(B \mid A)\). La probabilidad (a menudo llamada sensibilidad o tasa de verdaderos positivos en un contexto de pruebas) es la probabilidad de ver la evidencia asumiendo que \(A\) es verdadero. Estas dos probabilidades condicionales apuntan en direcciones opuestas, y solo son iguales en casos especiales. Una prueba puede tener una tasa de verdaderos positivos del 99% pero producir una distribución posterior muy por debajo del 99% — la diferencia está impulsada por la tasa base y la tasa de falsos positivos.
La tasa base \(P(A)\) es el motor detrás de esta diferencia. Cuando \(A\) es raro, el grupo de casos verdaderos es pequeño, por lo que incluso una tasa de falsos positivos modesta aplicada a la gran población \(\neg A\) puede generar más falsos positivos que verdaderos positivos. Ignorar la tasa base e interpretar un resultado positivo como casi cierto es la bien conocida falacia de la tasa base.
Finalmente, la actualización bayesiana es iterativa. Una vez que calcula una distribución posterior, puede servir como la probabilidad a priori para la siguiente evidencia independiente. Por ejemplo, observar una segunda prueba positiva significa que alimenta la primera distribución posterior nuevamente como \(P(A)\) y actualiza de nuevo. La evidencia independiente repetida refina constantemente la estimación, lo que explica por qué el razonamiento bayesiano subyace en las pruebas secuenciales, el filtrado de spam y muchos modelos de aprendizaje automático.
Términos clave y variables
- A priori — \(P(A)\)
- La probabilidad asignada a la hipótesis \(A\) antes de observar la evidencia. En contextos de pruebas, esta es la prevalencia o tasa base de la condición.
- Probabilidad — \(P(B \mid A)\)
- La probabilidad de observar la evidencia \(B\) cuando \(A\) es verdadero. Para una prueba diagnóstica, esta es la sensibilidad o tasa de verdaderos positivos.
- Tasa de falsos positivos — \(P(B \mid \neg A)\)
- La probabilidad de observar la evidencia \(B\) cuando \(A\) es falso. Equivale a \(1 - \text{especificidad}\) para una prueba diagnóstica.
- Evidencia / probabilidad marginal — \(P(B)\)
- La probabilidad total de observar la evidencia bajo todas las hipótesis, calculada por la ley de la probabilidad total como \(P(B) = P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid \neg A)\,\bigl(1 - P(A)\bigr)\). Es el denominador que normaliza la distribución posterior.
- Posterior — \(P(A \mid B)\)
- La probabilidad actualizada de \(A\) después de considerar la evidencia \(B\). Es el resultado del teorema de Bayes.
- Tasa base
- Otro nombre para la probabilidad a priori \(P(A)\) — la frecuencia subyacente de la hipótesis en la población, independiente de cualquier resultado de prueba específico.
- Teorema de Bayes
- La regla que relaciona estas cantidades: \(P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}\). La notación \(P(X \mid Y)\) se lee "la probabilidad de \(X\) dado \(Y\)," y \(\neg A\) denota "no \(A\)," el complemento de la hipótesis.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la posterior es tan baja en el ejemplo? Porque la enfermedad es poco frecuente: hay muchas más personas sanas que generan falsos positivos que personas enfermas que generan verdaderos positivos.
¿Y si ya conozco P(B)? Puedes ajustar P(B|¬A) para que el total calculado coincida, pero esta herramienta siempre obtiene P(B) a partir del teorema de la probabilidad total para garantizar la coherencia.
¿Tienen que sumar 1 los datos introducidos? No. Cada uno es una probabilidad independiente entre 0 y 1; solo \(P(A)\) y \(\left(1 - P(A)\right)\) son complementarias.
