Калькулятор теоремы Байеса

Полная вероятность P(B)	0,0882
Формула	P(A\|B) = P(B\|A)·P(A) / P(B)

Что такое теорема Байеса?

Теорема Байеса показывает, как пересмотреть вероятность гипотезы A, когда появляются новые данные B. Она превращает априорное предположение в апостериорную оценку, сопоставляя, насколько вероятны наблюдаемые данные при истинной гипотезе, с тем, насколько они вероятны в целом. Этот подход лежит в основе статистики, машинного обучения, медицинской диагностики, фильтрации спама и рационального принятия решений в условиях неопределённости.

Как пользоваться калькулятором

Введите три вероятности, каждая из которых находится в диапазоне от 0 до 1:

P(A) — априорная вероятность того, что гипотеза верна (например, распространённость заболевания в популяции).
P(B|A) — правдоподобие: вероятность увидеть данные при условии, что A истинна (например, чувствительность теста).
P(B|¬A) — доля ложноположительных результатов: вероятность тех же данных, когда A ложна.

Калькулятор сам вычисляет полную вероятность данных $P(B)$ по формуле полной вероятности и возвращает апостериорную вероятность $P(A|B)$.

Разбор формулы

Основное уравнение выглядит так: $$P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}.$$ Поскольку $P(B)$ редко известна напрямую, её раскрывают как $$P(B) = P(B|A)\cdot P(A) + P(B|\neg A)\cdot(1-P(A)).$$ Так складываются вклады истинноположительных и ложноположительных случаев, и мы узнаём, как часто данные вообще появляются.

Древовидная диаграмма, ветвящаяся от корня на две гипотезы, каждая из которых делится на положительный и отрицательный результаты теста — Вероятностное дерево, показывающее, как априорная вероятность разделяется на ветви правдоподобия и ложноположительных результатов.

Разбор на примере

Допустим, болезнью страдает 1% людей, то есть $P(A) = 0{,}01$. Тест верно выявляет больных в 90% случаев, $P(B|A) = 0{,}9$, но даёт 8% ложноположительных результатов, $P(B|\neg A) = 0{,}08$. Тогда $$P(B) = 0{,}9\times 0{,}01 + 0{,}08\times 0{,}99 = 0{,}009 + 0{,}0792 = 0{,}0882.$$ Апостериорная вероятность равна $$P(A|B) = \frac{0{,}009}{0{,}0882} \approx 0{,}102,$$ то есть около 10,2%. Несмотря на «положительный» тест, человек, скорее всего, здоров — классический пример того, как люди игнорируют базовую частоту (эффект пренебрежения априорной вероятностью).

Два пересекающихся прямоугольника, представляющие популяции, с выделенной областью пересечения для отображения апостериорной вероятности — Визуализация апостериорной вероятности как выделенной области пересечения относительно всех положительных результатов.

Частые вопросы

Почему в примере апостериорная вероятность такая низкая? Потому что болезнь редкая: здоровых людей настолько больше, что они дают куда больше ложноположительных результатов, чем больные — истинноположительных.

А если я уже знаю $P(B)$? Можно подобрать $P(B|\neg A)$ так, чтобы вычисленное значение совпало с известным, но для согласованности этот инструмент всегда выводит $P(B)$ из формулы полной вероятности.

Должна ли сумма введённых значений равняться 1? Нет. Каждое значение — это самостоятельная вероятность от 0 до 1; взаимодополняющими являются только $P(A)$ и $(1-P(A))$.

Как апостериорная вероятность меняется в зависимости от сценариев

Теорема Байеса объединяет априорную вероятность $P(A)$, коэффициент правдоподобия (вероятность истинно положительного результата) $P(B \mid A)$ и коэффициент ложноположительного результата $P(B \mid \neg A)$ в обновленную апостериорную вероятность $P(A \mid B)$. Самой удивительной особенностью результата является его чувствительность к базовому коэффициенту $P(A)$: когда явление редко, даже очень точный тест дает низкую апостериорную вероятность. В таблице ниже характеристики теста зафиксированы в некоторых местах и варьируются входные данные, чтобы сделать эту зависимость наглядной.

Сценарий	Априорная P(A)	Правдоподобие P(B\|A)	Ложноположительный P(B\|¬A)	Апостериорная P(A\|B)
Редкое явление, точный тест	0.01	0.99	0.05	0.1667
Редкое явление, более низкий коэффициент ложноположительного результата	0.01	0.99	0.01	0.5
Средний базовый коэффициент, точный тест	0.10	0.99	0.05	0.6875
Частое явление, точный тест	0.50	0.99	0.05	0.9519
Редкое явление, высокий коэффициент ложноположительного результата	0.01	0.90	0.20	0.0435

Прочитав первые две строки, мы видим, что снижение коэффициента ложноположительного результата с 0.05 до 0.01 повышает апостериорную вероятность с примерно 17% до 50%, хотя базовый коэффициент и чувствительность остаются неизменными. Прочитав строки один, три и четыре, мы видим, что по мере увеличения априорной вероятности с 1% до 50%, этот же тест повышает апостериорную вероятность с 17% примерно до 95%. Последняя строка демонстрирует противоположную крайность: редкое явление в сочетании с высоким коэффициентом ложноположительного результата держит апостериорную вероятность ниже 5%, несмотря на 90%-ный коэффициент истинно положительного результата.

Интерпретация апостериорной вероятности

Апостериорная вероятность $P(A \mid B)$ — это вероятность того, что гипотеза $A$ верна после того, как вы наблюдали свидетельство $B$. Она отвечает на практический вопрос «учитывая этот положительный результат, насколько вероятно, что явление действительно присутствует?» — что обычно и нужно знать лицу, принимающему решение.

Важно не путать апостериорную вероятность с правдоподобием $P(B \mid A)$. Правдоподобие (часто называемое чувствительностью или коэффициентом истинно положительного результата в контексте тестирования) — это вероятность наблюдения свидетельства при условии, что $A$ верно. Эти две условные вероятности указывают в противоположных направлениях и равны только в особых случаях. Тест может иметь 99%-ный коэффициент истинно положительного результата и при этом дать апостериорную вероятность намного ниже 99% — разница определяется базовым коэффициентом и коэффициентом ложноположительного результата.

Базовый коэффициент $P(A)$ — это движущая сила этого расхождения. Когда $A$ редко встречается, пул истинных случаев мал, поэтому даже скромный коэффициент ложноположительного результата, применяемый к большой популяции $\neg A$, может создать больше ложноположительных результатов, чем истинно положительных. Игнорирование базового коэффициента и интерпретация положительного результата как практически достоверного — это хорошо известная ошибка, называемая ошибкой базового коэффициента.

Наконец, байесовское обновление повторяется итеративно. Как только вы вычисляете апостериорную вероятность, она может служить априорной вероятностью для следующей части независимого свидетельства. Например, при наблюдении второго положительного теста вы подставляете первую апостериорную вероятность обратно как $P(A)$ и обновляете снова. Повторяющееся независимое свидетельство постепенно уточняет оценку, вот почему байесовское рассуждение лежит в основе последовательного тестирования, фильтрации спама и многих моделей машинного обучения.

Основные термины и переменные

Априорная вероятность — $P(A)$: Вероятность, приписываемая гипотезе $A$ до наблюдения свидетельства. В контексте тестирования это распространенность или базовый коэффициент явления.
Правдоподобие — $P(B \mid A)$: Вероятность наблюдения свидетельства $B$ при условии, что $A$ верно. Для диагностического теста это чувствительность или коэффициент истинно положительного результата.
Коэффициент ложноположительного результата — $P(B \mid \neg A)$: Вероятность наблюдения свидетельства $B$ при условии, что $A$ ложно. Он равен $1 - \text{специфичность}$ для диагностического теста.
Свидетельство / маргинальное правдоподобие — $P(B)$: Общая вероятность наблюдения свидетельства при всех гипотезах, вычисляемая законом полной вероятности как $P(B) = P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid \neg A)\,\bigl(1 - P(A)\bigr)$. Это знаменатель, нормализующий апостериорную вероятность.
Апостериорная вероятность — $P(A \mid B)$: Обновленная вероятность $A$ после учета свидетельства $B$. Это выходные данные теоремы Байеса.
Базовый коэффициент: Другое название для априорной вероятности $P(A)$ — основная частота гипотезы в популяции, независимо от любого конкретного результата теста.
Теорема Байеса: Правило, связывающее эти величины: $P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}$. Запись $P(X \mid Y)$ читается как «вероятность $X$ при условии $Y$», а $\neg A$ обозначает «не $A$», дополнение гипотезы.