حاسبة نظرية بايز

الاحتمال الكلي P(B)	٠٫٠٨٨٢
المعادلة	P(A\|B) = P(B\|A)·P(A) / P(B)

ما هي نظرية بايز؟

تصف نظرية بايز كيفية تحديث احتمال فرضية ما A عند ظهور دليل جديد B. فهي تحوّل اعتقادنا القَبلي (قبل رؤية الدليل) إلى اعتقاد بَعدي (بعد رؤيته)، وذلك بموازنة مدى توافق الدليل مع الفرضية مقابل احتمال ظهوره عمومًا. وتُعدّ هذه النظرية ركيزة أساسية في الإحصاء وتعلّم الآلة والتشخيص الطبي وتصفية الرسائل المزعجة واتخاذ القرارات الرشيدة في ظل عدم اليقين.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل ثلاثة احتمالات، يتراوح كل منها بين 0 و1:

$P(A)$ — الاحتمال القَبلي بأن الفرضية صحيحة (مثل معدل انتشار مرض ما بين السكان).
$P(B \mid A)$ — الأرجحية: احتمال ظهور الدليل حين تكون A صحيحة (مثل حساسية الاختبار الطبي).
$P(B \mid \neg A)$ — معدل الإيجابيات الكاذبة: احتمال ظهور الدليل حين تكون A خاطئة.

تحسب الأداة تلقائيًا الاحتمال الكلي للدليل $P(B)$ عبر قانون الاحتمال الكلي، ثم تُرجع لك الاحتمال البَعدي $P(A \mid B)$.

شرح المعادلة

المعادلة الأساسية هي:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

وبما أن قيمة $P(B)$ نادرًا ما تكون معروفة مباشرة، فإننا نفكّكها على النحو التالي:

$$P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid \neg A) \cdot \left(1 - P(A)\right)$$

وهذا يجمع بين مساهمة الإيجابيات الصحيحة والإيجابيات الكاذبة لمعرفة عدد مرات ظهور الدليل إجمالًا.

اعلان

مخطط شجري يتفرّع من جذر إلى فرعَي فرضيتين، وينقسم كل منهما إلى نتيجتي اختبار إيجابية وسلبية — شجرة احتمالات توضّح كيف ينقسم الاحتمال القبلي إلى فرعَي الأرجحية والإيجابية الكاذبة.

مثال محلول

لنفترض أن مرضًا ما يصيب 1% من الناس، أي أن $P(A) = 0.01$. ويكتشف الاختبار المرضى المصابين بشكل صحيح في 90% من الحالات، أي $P(B \mid A) = 0.9$، لكنه يعطي نتيجة إيجابية كاذبة بنسبة 8%، أي $P(B \mid \neg A) = 0.08$. عندئذٍ يكون

$$P(B) = 0.9 \times 0.01 + 0.08 \times 0.99 = 0.009 + 0.0792 = 0.0882$$

ويصبح الاحتمال البَعدي

$$P(A \mid B) = \frac{0.009}{0.0882} \approx 0.102$$

أي نحو 10.2%. فرغم أن نتيجة الاختبار «إيجابية»، يظل المريض على الأرجح سليمًا — وهذا مثال كلاسيكي على ظاهرة إهمال المعدل الأساسي.

مستطيلان متداخلان يمثّلان مجتمعين، مع إبراز منطقة التداخل لإظهار الاحتمال البعدي — تصوير الاحتمال البعدي كمنطقة التداخل المُبرَزة نسبةً إلى جميع النتائج الإيجابية.

كيف يتغير الاحتمال اللاحق عبر السيناريوهات

تجمع نظرية بايز بين احتمال سابق $P(A)$، معدل إيجابي حقيقي (احتمالية) $P(B \mid A)$، ومعدل إيجابي كاذب $P(B \mid \neg A)$ في احتمال لاحق محدّث $P(A \mid B)$. أكثر ما يثير الدهشة في النتيجة هو حساسيتها لـ معدل الانتشار $P(A)$: عندما تكون حالة ما نادرة، حتى الاختبار الدقيق جداً ينتج احتمالاً لاحقاً منخفضاً. الجدول أدناه يحافظ على خصائص الاختبار ثابتة في بعض الأماكن ويغير المدخلات لجعل هذا الارتباط واضحاً.

السيناريو	الاحتمال السابق P(A)	الاحتمالية P(B\|A)	معدل الإيجابي الكاذب P(B\|¬A)	الاحتمال اللاحق P(A\|B)
حالة نادرة، اختبار دقيق	0.01	0.99	0.05	0.1667
حالة نادرة، معدل إيجابي كاذب أقل	0.01	0.99	0.01	0.5
معدل انتشار معتدل، اختبار دقيق	0.10	0.99	0.05	0.6875
حالة شائعة، اختبار دقيق	0.50	0.99	0.05	0.9519
حالة نادرة، معدل إيجابي كاذب مرتفع	0.01	0.90	0.20	0.0435

قراءة الصفين الأولين تظهر أن خفض معدل الإيجابي الكاذب من 0.05 إلى 0.01 يرفع الاحتمال اللاحق من حوالي 17٪ إلى 50٪ حتى وإن ظل معدل الانتشار والحساسية دون تغيير. قراءة الصفوف الأول والثالث والرابع تظهر أنه مع ارتفاع الاحتمال السابق من 1٪ إلى 50٪، يدفع الاختبار ذاته الاحتمال اللاحق من 17٪ وحتى إلى حوالي 95٪. الصف الأخير يوضح الحالة المعاكسة: حالة نادرة مقترنة بمعدل إيجابي كاذب مرتفع تحافظ على الاحتمال اللاحق تحت 5٪ رغم معدل إيجابي حقيقي بنسبة 90٪.

تفسير احتمالك اللاحق

الاحتمال اللاحق $P(A \mid B)$ هو احتمال أن تكون الفرضية $A$ صحيحة بعد أن تكون قد لاحظت الدليل $B$. يجيب على السؤال العملي "بالنظر إلى هذه النتيجة الإيجابية، ما مدى احتمال وجود الحالة فعلاً؟" — وهو عادة ما يريد أن يعرفه صاحب القرار.

من المهم عدم الخلط بين الاحتمال اللاحق والاحتمالية $P(B \mid A)$. الاحتمالية (غالباً ما تُسمى الحساسية أو معدل الإيجابي الحقيقي في سياق الاختبار) هي احتمال رؤية الدليل بافتراض أن $A$ صحيح. تشير هذان الاحتمالان الشرطيان في اتجاهات معاكسة، وهما متساويان فقط في حالات خاصة. يمكن أن يحقق الاختبار معدل إيجابي حقيقي بنسبة 99٪ ثم ينتج احتمالاً لاحقاً أقل بكثير من 99٪ — الفرق يحركه معدل الانتشار ومعدل الإيجابي الكاذب.

معدل الانتشار الأساسي $P(A)$ هو المحرك وراء هذا الفارق. عندما تكون $A$ نادرة، مجموعة الحالات الحقيقية صغيرة، لذا حتى معدل إيجابي كاذب معتدل مطبق على المجموعة الكبيرة من $\neg A$ يمكن أن يولّد إيجابيات كاذبة أكثر من الإيجابيات الحقيقية. تجاهل معدل الانتشار والقراءة من نتيجة موجبة على أنها مؤكدة تقريباً هي مغالطة معدل الانتشار المعروفة جيداً.

أخيراً، التحديث البايزي عملية متكررة. بمجرد حساب الاحتمال اللاحق، يمكنه أن يكون بمثابة الاحتمال السابق للدليل المستقل التالي. مراقبة اختبار موجب ثانٍ، على سبيل المثال، تعني إدخال الاحتمال اللاحق الأول مجدداً كـ $P(A)$ والتحديث مرة أخرى. الدليل المستقل المتكرر يصقل التقدير تدريجياً، وهذا هو السبب في أن التفكير البايزي يقف وراء الاختبار المتسلسل وتصفية الرسائل غير المرغوبة والعديد من نماذج التعلم الآلي.

اعلان

المصطلحات والمتغيرات الأساسية

الاحتمال السابق — $P(A)$: الاحتمال المخصص للفرضية $A$ قبل ملاحظة الدليل. في سياقات الاختبار هذا هو الانتشار أو معدل الانتشار للحالة.
الاحتمالية — $P(B \mid A)$: احتمال مراقبة الدليل $B$ عندما تكون $A$ صحيحة. بالنسبة لاختبار التشخيص هذه هي الحساسية أو معدل الإيجابي الحقيقي.
معدل الإيجابي الكاذب — $P(B \mid \neg A)$: احتمال مراقبة الدليل $B$ عندما تكون $A$ خاطئة. يساوي $1 - \text{التخصص}$ لاختبار التشخيص.
الدليل / الاحتمالية الهامشية — $P(B)$: الاحتمال الكلي لمراقبة الدليل تحت جميع الفرضيات، يُحسب بموجب قانون الاحتمالية الكلية كـ $P(B) = P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid \neg A)\,\bigl(1 - P(A)\bigr)$. وهو المقسوم عليه الذي يعيّن الاحتمال اللاحق.
الاحتمال اللاحق — $P(A \mid B)$: احتمال $A$ المحدّث بعد أخذ الدليل $B$ في الاعتبار. وهو مخرجات نظرية بايز.
معدل الانتشار: اسم آخر للاحتمال السابق $P(A)$ — التكرار الأساسي للفرضية في السكان، بغض النظر عن أي نتيجة اختبار محددة.
نظرية بايز: القاعدة التي تربط هذه الكميات: $P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}$. يُقرأ الرمز $P(X \mid Y)$ على أنه "احتمال $X$ بمعلومية $Y$،" و$\neg A$ يدل على "ليس $A$،" تكملة الفرضية.

الأسئلة الشائعة

لماذا جاء الاحتمال البَعدي منخفضًا إلى هذا الحد في المثال؟ لأن المرض نادر، فعدد الأصحاء الذين يحصلون على نتيجة إيجابية كاذبة أكبر بكثير من عدد المرضى الذين يحصلون على نتيجة إيجابية صحيحة.

ماذا لو كنت أعرف قيمة $P(B)$ مسبقًا؟ يمكنك ضبط قيمة $P(B \mid \neg A)$ بحيث يتطابق الناتج المحسوب معها، لكن هذه الأداة تشتق قيمة $P(B)$ دائمًا من قانون الاحتمال الكلي حفاظًا على الاتساق.

هل يجب أن يكون مجموع المُدخلات مساويًا 1؟ لا. فكل مُدخل احتمال مستقل بين 0 و1؛ القيمتان $P(A)$ و$(1 - P(A))$ فقط هما المتكاملتان.