ماذا تفعل هذه الحاسبة
تخبرك حاسبة احتمال رمي العملة بمدى احتمال حصولك على عدد معيّن من الصور عندما ترمي العملة عددًا محددًا من المرات. وهي تعتمد على التوزيع الاحتمالي ذي الحدين، الذي يصف أي سلسلة من المحاولات المستقلة ذات النتيجتين (نعم/لا). ورغم أن الحالة الكلاسيكية هي العملة العادلة (\(p = 0.5\))، فإن هذه الأداة تتعامل أيضًا مع العملات المنحازة، إذ تتيح لك ضبط أي احتمال لظهور الصورة بين 0 و1.
كيفية الاستخدام
أدخل ثلاث قيم: عدد الرميات n، وعدد الصور المطلوب k، واحتمال ظهور الصورة في الرمية الواحدة p. تعطيك الحاسبة الاحتمال الدقيق للحصول على k صورة بالضبط، وعدد التوافيق الرابحة \(C(\text{n},\text{k})\)، والاحتمالات التراكمية للحصول على k صورة على الأكثر وعلى k صورة على الأقل، إضافة إلى العدد المتوقع للصور (\(\text{n}\cdot\text{p}\)).
شرح الصيغة
صيغة التوزيع ذي الحدين هي $$P(X = \text{k}) = \binom{\text{n}}{\text{k}} \, \text{p}^{\,\text{k}} \left(1 - \text{p}\right)^{\text{n} - \text{k}}$$ يحسب الحد \(C(\text{n},\text{k})\) عدد الترتيبات المختلفة التي تُنتج k صورة بالضبط. والعامل \(\text{p}^{\text{k}}\) هو احتمال وقوع تلك الصور k، بينما \((1-\text{p})^{\text{n}-\text{k}}\) هو احتمال أن تكون بقية الرميات كلها كتابة (ظهر). وبضرب هذه العوامل معًا نحصل على احتمال نتيجة عددية محددة بعينها.
مثال محلول
لعشر رميات عادلة حيث \(\text{k} = 5\) و \(\text{p} = 0.5\): نجد أن \(C(10,5) = 252\)، و \(\text{p}^5 = 0.03125\)، و \((1-\text{p})^5 = 0.03125\). ومن ثمّ يكون $$P = 252 \times 0.03125 \times 0.03125 \approx 0.2461$$ أي نحو 24.61%. ومع أن ظهور 5 صور هو النتيجة الأكثر احتمالًا، فإنها لا تحدث إلا في أقل من ربع الحالات.
الأسئلة الشائعة
ما المقصود بالعملة العادلة؟ العملة العادلة هي التي يكون فيها \(\text{p} = 0.5\)، أي إن احتمال ظهور الصورة يساوي احتمال ظهور الكتابة في كل رمية.
هل يمكنني محاكاة عملة منحازة؟ نعم — ما عليك سوى ضبط قيمة p على الاحتمال الفعلي لظهور الصورة، مثلًا 0.6 لعملة تُظهر الصورة بنسبة 60% من المرات.
ماذا تعني عبارة «k صورة على الأقل»؟ هي الاحتمال التراكمي للحصول على k صورة أو أكثر، ويُحسب بجمع الاحتمالات الدقيقة للقيم k و k+1 وحتى n.
