यह कैलकुलेटर क्या करता है
सिक्का उछाल प्रायिकता कैलकुलेटर आपको बताता है कि जब आप किसी सिक्के को एक तय संख्या में उछालते हैं, तो उसमें से ठीक उतनी ही बार हेड्स आने की कितनी संभावना है। यह द्विपद प्रायिकता वितरण (binomial probability distribution) का उपयोग करता है, जो हर ऐसे स्वतंत्र हाँ/नहीं प्रयोग के क्रम को दर्शाता है। आम तौर पर इसका सबसे जाना-पहचाना उदाहरण संतुलित सिक्का है (\(p = 0.5\)), लेकिन यह टूल पक्षपाती सिक्कों को भी संभालता है — आप हेड्स आने की प्रायिकता 0 से 1 के बीच कोई भी मान रख सकते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
तीन मान भरें: उछालों की संख्या n, आपको कितनी बार हेड्स चाहिए वह संख्या k, और एक उछाल में हेड्स आने की प्रायिकता p। कैलकुलेटर आपको ठीक k बार हेड्स आने की सटीक प्रायिकता, जीतने वाले संयोजनों की संख्या \(C(n,k)\), अधिकतम k और न्यूनतम k हेड्स आने की संचयी संभावना, तथा हेड्स की अपेक्षित संख्या (\(n \cdot p\)) बता देता है।
सूत्र की व्याख्या
द्विपद सूत्र है $$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ पद \(C(n,k)\) यह गिनता है कि कितने अलग-अलग क्रमों से ठीक k बार हेड्स बन सकते हैं। गुणक \(p^k\) इन k बार हेड्स के आने की संभावना है, और \((1-p)^{n-k}\) बाकी बची सभी उछालों के टेल्स होने की संभावना है। इन्हें आपस में गुणा करने पर किसी एक खास गिनती की प्रायिकता मिल जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
10 बार संतुलित सिक्का उछालने पर, जहाँ \(k = 5\) और \(p = 0.5\): \(C(10,5) = 252\), \(p^5 = 0.03125\), और \((1-p)^5 = 0.03125\)। तो $$P = 252 \times 0.03125 \times 0.03125 \approx 0.2461$$ यानी लगभग 24.61%। भले ही 5 बार हेड्स आना सबसे अधिक संभावित परिणाम है, फिर भी यह चार में से एक बार से भी कम होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
संतुलित सिक्का क्या होता है? संतुलित सिक्के में \(p = 0.5\) होता है, यानी हर उछाल में हेड्स और टेल्स आने की संभावना बराबर होती है।
क्या मैं पक्षपाती सिक्के की गणना कर सकता हूँ? हाँ — बस p को हेड्स आने की असली संभावना पर सेट कर दें, जैसे किसी ऐसे सिक्के के लिए 0.6 जो 60% बार हेड्स पर गिरता है।
"कम से कम k हेड्स" का क्या मतलब है? यह k या उससे अधिक हेड्स आने की संचयी प्रायिकता है, जिसे k, k+1, …, n की सटीक प्रायिकताओं को जोड़कर निकाला जाता है।
