이 계산기의 기능
동전 던지기 확률 계산기는 동전을 정해진 횟수만큼 던졌을 때 특정 개수의 앞면이 나올 가능성이 얼마나 되는지 알려줍니다. 이 계산기는 서로 독립적인 '예/아니오' 시행의 연속을 모델링하는 이항확률분포를 사용합니다. 가장 대표적인 경우는 공정한 동전(\(p = 0.5\))이지만, 앞면이 나올 확률을 0에서 1 사이의 어떤 값으로든 설정할 수 있어 편향된 동전도 다룰 수 있습니다.
사용 방법
세 가지 값을 입력하세요. 던지는 횟수 n, 원하는 앞면의 개수 k, 그리고 한 번 던졌을 때 앞면이 나올 확률 p입니다. 계산기는 정확히 k번 앞면이 나올 확률, 그 경우의 수 \(C(n,k)\), 앞면이 최대 k번 또는 최소 k번 나올 누적 확률, 그리고 앞면의 기댓값(\(n \cdot p\))을 보여줍니다.
공식 풀이
이항분포 공식은 다음과 같습니다.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$
\(C(n,k)\) 항은 정확히 k번 앞면이 나오는 서로 다른 순서가 몇 가지인지를 세어줍니다. \(p^k\)는 그 k번의 앞면이 나올 확률이고, \((1-p)^{n-k}\)는 나머지가 모두 뒷면일 확률입니다. 이 세 값을 곱하면 특정 개수가 나올 확률이 됩니다.
계산 예시
공정한 동전을 10번 던지고 \(k = 5\), \(p = 0.5\)인 경우를 봅시다. \(C(10,5) = 252\), \(p^5 = 0.03125\), \((1-p)^5 = 0.03125\)입니다. 따라서
$$P = 252 \times 0.03125 \times 0.03125 \approx 0.2461$$
즉 약 24.61%입니다. 앞면이 5번 나오는 것이 가장 가능성 높은 결과이긴 하지만, 그래도 전체의 4분의 1도 채 되지 않습니다.
자주 묻는 질문
공정한 동전이란 무엇인가요? 공정한 동전은 \(p = 0.5\)인 동전으로, 매번 던질 때 앞면과 뒷면이 나올 확률이 동일합니다.
편향된 동전도 계산할 수 있나요? 네, p 값을 실제 앞면이 나올 확률로 설정하면 됩니다. 예를 들어 앞면이 60% 확률로 나오는 동전이라면 0.6으로 입력하세요.
"앞면 최소 k번"은 무슨 뜻인가요? 앞면이 k번 이상 나올 누적 확률을 의미하며, \(k, k+1, \ldots, n\)에 대한 각각의 확률을 모두 더해서 구합니다.
