ما هي مبرهنة الباقي؟
تُعدّ مبرهنة الباقي من النتائج الأساسية في الجبر، وتنصّ على أنك عندما تقسم كثير حدود \(P(x)\) على عامل خطّي من الشكل \((x - c)\)، فإن باقي القسمة يساوي تماماً قيمة \(P(c)\). وهذا يعني أنك لست بحاجة إلى إجراء عملية القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود بالكامل لمعرفة الباقي، بل يكفي أن تعوّض قيمة \(c\) في كثير الحدود وتحسب الناتج. وهذه الحاسبة تقوم بذلك نيابةً عنك في لحظات.
طريقة استخدام الحاسبة
أدخل معاملات كثير الحدود مرتّبةً من حدّ الدرجة الأعلى وصولاً إلى الحدّ الثابت، مفصولةً بفواصل أو مسافات. واحرص على إدراج صفر مكان أي حدّ مفقود. على سبيل المثال، كثير الحدود \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) لا يحتوي على الحدّ \(x\)، لذا تُدخِله هكذا: 2, -3, 0, 5. ثم اكتب قيمة \(c\) المأخوذة من المقسوم عليه \((x - c)\). فإذا كان المقسوم عليه هو \((x + 4)\)، فإن \(c = -4\). اضغط على زرّ الحساب لتحصل على الباقي \(P(c)\).
شرح القانون
تنصّ المبرهنة على أن $$R = P(c).$$ وداخلياً نعتمد على طريقة هورنر، التي تُعيد كتابة كثير الحدود في صيغة متداخلة بحيث تُحسب القيمة بأقل عدد من عمليات الضرب وبأفضل استقرار عددي. نبدأ بالقيمة صفر، ثم نضرب المجموع المتراكم في \(c\) ونضيف إليه المعامل التالي عند كل خطوة. ويكون المجموع النهائي هو \(P(c)\)، وهو نفسه قيمة الباقي.
$$\text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i\,c^{\,n-i}$$
مثال محلول
لنأخذ كثير الحدود \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) ونقسمه على \((x - 2)\)، فيكون \(c = 2\). نحسب خطوة بخطوة بطريقة هورنر: نبدأ بـ \(0\)؛ \(\times 2 + 2 = 2\)؛ \(\times 2 + (-3) = 1\)؛ \(\times 2 + 0 = 2\)؛ \(\times 2 + 5 = 9\). إذن \(P(2) = 9\)، ويكون الباقي 9. ويمكنك التحقق من ذلك بالتعويض المباشر: $$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الباقي يساوي صفراً؟ إذا كان \(P(c) = 0\)، فهذا يعني أن \((x - c)\) يقسم \(P(x)\) قسمةً تامّةً — أي أن \(c\) جذر للمعادلة وأن \((x - c)\) عامل من عواملها (وهذا ما تنصّ عليه مبرهنة العامل).
كيف أُدخِل (x + 3) كمقسوم عليه؟ أعِد كتابة \(x + 3\) على هيئة \(x - (-3)\)، ثم أدخِل \(c = -3\).
هل يجب إدخال كل معامل؟ نعم — أدرِج صفراً مكان أي قوة مفقودة حتى تتطابق المواضع بشكل صحيح.
