ما هي مبرهنة ديموافر؟
مبرهنة ديموافر من أهم المتطابقات في نظرية الأعداد المركّبة، إذ تتيح لك رفع عدد مركّب مكتوب بالصيغة القطبية إلى أي أُسّ دون الحاجة إلى الضرب المتكرّر. فإذا كان للعدد المركّب مقياس r وعمدة (زاوية) θ، فإن رفعه إلى الأُسّ n يرفع المقياس إلى rⁿ ويضرب الزاوية في n فحسب. تنجز هذه الحاسبة العملية في لحظة، كما تعيد تحويل الناتج إلى الصيغة الجبرية المألوفة a + bi.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل المقياس r (البُعد عن نقطة الأصل)، والزاوية θ (العمدة)، والأُسّ n، ثم اختر ما إذا كانت زاويتك بالدرجات أم بالراديان. تعيد لك الأداة المقياس الجديد \(r^{n}\)، والزاوية الجديدة \(n\theta\)، إضافةً إلى الجزأين الحقيقي والتخيّلي للناتج.
شرح الصيغة
تنصّ المبرهنة على أن:
$$\left(r\left(\cos\theta + i\cdot\sin\theta\right)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos\!\left(n\theta\right) + i\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\right)$$أي يُرفَع المقياس إلى الأُسّ n، بينما تُضرَب الزاوية في n. وعند التحويل إلى الصيغة الجبرية نحصل على \(a = r^{n}\cdot\cos\!\left(n\theta\right)\) و \(b = r^{n}\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\).
مثال محلول
لنأخذ \(\left(2\left(\cos 30° + i\cdot\sin 30°\right)\right)^{3}\). يصبح المقياس الجديد \(2^{3} = 8\)، والزاوية الجديدة \(3 \times 30° = 90°\). ومن ثَمّ يكون الناتج
$$8\left(\cos 90° + i\cdot\sin 90°\right) = 8\left(0 + i\cdot 1\right) = 0 + 8i$$الأسئلة الشائعة
هل يجب أن يكون n عددًا صحيحًا؟ تتحقّق مبرهنة ديموافر بدقّة تامّة للأُسس الصحيحة. أما الأُسس غير الصحيحة فتعطي جذرًا واحدًا صحيحًا، علمًا أن للأعداد المركّبة عادةً جذورًا متعدّدة.
درجات أم راديان؟ كلاهما يعمل — فقط اختر الوحدة المطابقة. وتُعرَض الزاوية الناتجة بالوحدة نفسها التي اخترتها.
ماذا لو كان r سالبًا؟ المقياس عادةً غير سالب؛ ويُفسَّر r السالب حرفيًا داخل الأُسّ \(r^{n}\)، وهو ما قد يُنتِج إشارات غير متوقّعة عندما يكون n غير صحيح.
