डी मॉयर प्रमेय कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

मापांक r

कोण θ

घात n

कोण की इकाई Degrees Radians

परिणाम

आयताकार रूप a + bi

0 + 8 i

(r(cosθ+i·sinθ))ⁿ का परिणाम

नया मापांक rⁿ	8
नया कोण nθ	90
वास्तविक भाग (a)	0
काल्पनिक भाग (b)	8

डी मॉयर प्रमेय क्या है?

डी मॉयर प्रमेय सम्मिश्र संख्या (complex number) के सिद्धांत की एक बेहद उपयोगी सर्वसमिका है, जिसकी मदद से आप ध्रुवीय रूप (polar form) में लिखी किसी सम्मिश्र संख्या को बार-बार गुणा किए बिना किसी भी घात तक आसानी से बढ़ा सकते हैं। यदि किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक r और कोण (कोणांक) θ हो, तो उसे घात n तक बढ़ाने पर मापांक बस r\(^n\) बन जाता है और कोण n से गुणा हो जाता है। यह कैलकुलेटर यह गणना पलक झपकते कर देता है और परिणाम को वापस परिचित आयताकार रूप \(a + bi\) में भी बदल देता है।

ध्रुवीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या: मापांक r और कोण θ।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

मापांक r (मूल बिंदु से दूरी), कोण θ (कोणांक), और घात n दर्ज करें, और चुनें कि आपका कोण डिग्री में है या रेडियन में। यह उपकरण नया मापांक \(r^n\), नया कोण \(n\theta\), तथा परिणाम के वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों लौटाता है।

सूत्र की व्याख्या

प्रमेय कहती है:

$$\left(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\right)^n = r^n\left(\cos(n\theta) + i\cdot\sin(n\theta)\right)$$

यहाँ मापांक को घात n तक बढ़ाया जाता है, जबकि कोण को n से गुणा किया जाता है। आयताकार रूप में बदलने पर \(a = r^n\cdot\cos(n\theta)\) और \(b = r^n\cdot\sin(n\theta)\) मिलता है।

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घात n तक उठाना: मापांक rⁿ हो जाता है और कोण nθ हो जाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \((2(\cos 30° + i\cdot\sin 30°))^3\)। नया मापांक होगा \(2^3 = 8\) और नया कोण होगा \(3 \times 30° = 90°\)। इसलिए परिणाम है

$$8(\cos 90° + i\cdot\sin 90°) = 8(0 + i\cdot 1) = 0 + 8i$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या n का पूर्णांक होना ज़रूरी है? डी मॉयर प्रमेय पूर्णांक घातों के लिए बिल्कुल सटीक रहती है। भिन्नात्मक (non-integer) घात एक वैध मूल देती है, पर सामान्य रूप से सम्मिश्र संख्याओं के कई मूल होते हैं।

डिग्री या रेडियन? दोनों चलते हैं — बस मिलती-जुलती इकाई चुनें। आउटपुट का कोण उसी इकाई में दिखाया जाता है जो आपने चुनी थी।

अगर r ऋणात्मक हो तो? मापांक आमतौर पर ऋण-रहित (non-negative) होता है; ऋणात्मक r को घात \(r^n\) में अक्षरशः लिया जाता है, जिससे भिन्नात्मक n के लिए अप्रत्याशित चिह्न आ सकते हैं।