क्रॉस प्रोडक्ट क्या है?
दो त्रि-आयामी (3D) वेक्टर a और b का क्रॉस प्रोडक्ट एक ऐसा नया वेक्टर बनाता है जो दोनों इनपुट वेक्टर के लंबवत (ऑर्थोगोनल) होता है। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग में बेहद अहम है — टॉर्क, कोणीय संवेग (angular momentum), चुंबकीय बल और 3D ग्राफिक्स में सरफेस नॉर्मल निकालने के लिए इसका इस्तेमाल होता है। डॉट प्रोडक्ट सिर्फ एक संख्या देता है, जबकि क्रॉस प्रोडक्ट पूरा एक वेक्टर देता है — यही दोनों के बीच मुख्य अंतर है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वेक्टर a के तीनों घटक (a₁, a₂, a₃) और वेक्टर b के तीनों घटक (b₁, b₂, b₃) दर्ज करें। कैलकुलेटर परिणामी वेक्टर a × b को एक क्रमबद्ध त्रिक (ordered triple) के रूप में और उसका परिमाण दोनों दिखाता है। मान धनात्मक, ऋणात्मक या दशमलव — किसी भी रूप में हो सकते हैं।
फ़ॉर्मूला को समझें
क्रॉस प्रोडक्ट को घटक-दर-घटक इस तरह परिभाषित किया जाता है:
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$
हर घटक बाकी बचे निर्देशांकों का एक 2×2 सारणिक (determinant) होता है। परिमाण घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है, जो \(|a||b|\sin(\theta)\) के भी बराबर होता है — यानी उन दोनों वेक्टर से बने समांतर चतुर्भुज (parallelogram) का क्षेत्रफल।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए a = (1, 2, 3) और b = (4, 5, 6)। तब:
$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$
$$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$
$$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
इसलिए \(\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)\), और इसका परिमाण \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
क्या क्रॉस प्रोडक्ट क्रमविनिमेय (commutative) होता है? नहीं। \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\); क्रम बदलने पर परिणाम की दिशा उलट जाती है।
अगर दोनों वेक्टर समांतर हों तो क्या होगा? तब क्रॉस प्रोडक्ट शून्य वेक्टर (0, 0, 0) होता है, क्योंकि \(\sin(\theta) = 0\) हो जाता है।
परिमाण किसका प्रतिनिधित्व करता है? यह दोनों वेक्टर से बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। परिमाण शून्य होने का मतलब है कि दोनों वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर (linearly dependent) हैं — यानी समांतर या विपरीत-समांतर।
