3B Vektör Vektörel Çarpım Hesaplama

Hesaplamaya Girin

a₁ (x)

a₂ (y)

a₃ (z)

b₁ (x)

b₂ (y)

b₃ (z)

Formül

Show calculation steps (1)

1. Magnitude of Cross Product

   

   Length of the resulting vector, where cx, cy, cz are the cross product components above

Sonuç

Vektörel Çarpım a × b

( -3, 6, -3 )

a ve b vektörlerine dik olan sonuç vektörü

i bileşeni (x)	-3
j bileşeni (y)	6
k bileşeni (z)	-3
Büyüklük |a × b|	7,3485

Vektörel Çarpım Nedir?

Üç boyutlu iki a ve b vektörünün vektörel çarpımı, her iki vektöre de dik (ortogonal) olan yepyeni bir vektör üretir. Fizik ve mühendislikte tork, açısal momentum ve manyetik kuvvet hesaplamalarında; 3B grafiklerde ise yüzey normallerinin bulunmasında temel bir araçtır. Tek bir sayı döndüren skaler (nokta) çarpımın aksine, vektörel çarpım bir vektör verir.

Vektörel çarpım a × b, sağ el kuralına göre hem a'ya hem de b'ye diktir.

Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?

a vektörünün üç bileşenini (a₁, a₂, a₃) ve b vektörünün üç bileşenini (b₁, b₂, b₃) girin. Araç, a × b sonuç vektörünü sıralı üçlü olarak ve büyüklüğüyle birlikte verir. Değerler pozitif, negatif ya da ondalıklı olabilir.

Formülün Açıklaması

Vektörel çarpım, bileşen bazında şöyle tanımlanır:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$

Her bileşen, geriye kalan koordinatların 2×2 determinantıdır. Büyüklük ise bileşenlerin karelerinin toplamının kareköküne eşittir; bu da \(|a||b|\sin(\theta)\) değerine, yani iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanına denk gelir.

$$\left\lVert \vec{a} \times \vec{b} \right\rVert = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$

Reklam

Sağ el kuralı a × b'nin yönünü verir.

Çözümlü Örnek

\(a = (1, 2, 3)\) ve \(b = (4, 5, 6)\) olsun. Bu durumda:

$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$$$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$$$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$

Buna göre \(a \times b = (-3, 6, -3)\) olur ve büyüklüğü \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348\)'dir.

Sıkça Sorulan Sorular

Vektörel çarpım değişmeli (komütatif) midir? Hayır. \(a \times b = -(b \times a)\); yani sıralamayı değiştirmek sonucun yönünü tersine çevirir.

Vektörler paralelse ne olur? \(\sin(\theta) = 0\) olduğu için vektörel çarpım sıfır vektörüdür \((0, 0, 0)\).

Büyüklük neyi temsil eder? İki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir. Büyüklüğün sıfır olması, vektörlerin doğrusal bağımlı (paralel veya ters paralel) olduğunu gösterir.