Matris-vektör çarpımı nedir?
Matris-vektör çarpımı, m×n boyutundaki bir A matrisi ile n boyutlu bir x sütun vektörünü alır ve m boyutlu yeni bir \(c = A\cdot x\) sütun vektörü üretir. Doğrusal cebirin en temel işlemlerinden biridir; doğrusal dönüşümlerin, denklem sistemlerinin, bilgisayar grafiğinin ve makine öğrenmesinin temelinde yatar. Bu hesaplama aracı gerçek sayılarla çalışır ve her yerde geçerlidir; bölgeye özgü hiçbir kural içermeyen saf matematiktir.
Bu aracı nasıl kullanırsınız?
A matrisinin satır sayısını (i) ve sütun sayısını (j) girin. Matris değerlerini ızgara kutusuna yazın; her satırı ayrı bir satıra, değerleri ise boşluk veya virgülle ayırarak girin. x vektörünü her değeri ayrı bir öğe olacak şekilde girin; uzunluğu, A matrisinin sütun sayısına eşit olmalıdır. Boş bırakılan hücreler 0 kabul edilir. Sonuç sütun vektörünü görmek için hesapla düğmesine basın.
Formülün açıklaması
1'den m'ye (satır sayısı) kadar her çıktı indisi i için, sonuç bileşeni, i. satırdaki matris değerlerinin vektör bileşenleriyle ağırlıklı toplamıdır:
$$c_i = a_{i1}\cdot x_1 + a_{i2}\cdot x_2 + \dots + a_{in}\cdot x_n$$
Bu, basitçe A matrisinin i. satırının x ile nokta (skaler) çarpımıdır. Çarpım yalnızca A'nın sütun sayısı x'in uzunluğuna eşit olduğunda (sütun = n) tanımlıdır. Sonuç vektörünün uzunluğu ise A'nın satır sayısı olan m'ye eşittir.
Çözümlü örnek
A matrisi, satırları [1 2 3], [4 5 6], [7 8 9] olan 3×3 boyutunda bir matris ve x = (1, 0, -1) olsun. Bu durumda $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -2,$$ $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1) = -2,$$ $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1) = -2$$ olur. Sonuç, c = (-2, -2, -2) sütun vektörüdür.
Sık sorulan sorular
Boyutlar uyuşmazsa ne olur? A matrisinin sütun sayısı x vektörünün uzunluğuna eşit değilse, çarpım tanımsızdır ve hesaplama aracı sayı yerine bir uyarı mesajı gösterir.
A kare olmayan bir matris olabilir mi? Evet. 2×3 boyutunda bir matris, 3 boyutlu bir vektörle çarpıldığında 2 boyutlu bir vektör verir. Çıktının uzunluğu daima A matrisinin satır sayısına eşittir.
1×n boyutunda bir matris ne sonuç verir? 1×n boyutunda bir matris, n boyutlu bir vektörle çarpıldığında tek bir bileşen üretir; bu da aslında iki vektörün iç (nokta) çarpımıdır ve burada uzunluğu 1 olan bir vektör olarak gösterilir.
