वेक्टर डॉट प्रोडक्ट क्या है?
डॉट प्रोडक्ट (जिसे अदिश गुणनफल या स्केलर प्रोडक्ट भी कहते हैं) समान विमा वाले दो या अधिक वेक्टर लेकर एक अकेली संख्या लौटाता है। दो वेक्टरों के लिए यह उनके संगत घटकों के गुणनफलों का योग होता है। इसका परिणाम एक अदिश राशि (स्केलर) होता है, वेक्टर नहीं — और यह ज्यामिति, भौतिकी तथा मशीन लर्निंग हर जगह काम आता है, जैसे यह मापने में कि दो दिशाएँ कितनी एक-सी हैं या किसी बल द्वारा किया गया कार्य निकालने में।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने वेक्टर टेक्स्ट बॉक्स में लिखें। प्रत्येक वेक्टर को कोष्ठक (1,2,3), चौकोर ब्रैकेट [1,2,3], कोण ब्रैकेट <1,2,3> में लिख सकते हैं, या उसे केवल अलग लाइन में रख सकते हैं। एक वेक्टर के घटकों को कॉमा से अलग करें। हर वेक्टर में बराबर संख्या में पद होने चाहिए। सटीक मान देखने के लिए "Auto" चुनें, या प्रदर्शित उत्तर को राउंड करने के लिए सार्थक अंकों की संख्या चुनें।
सूत्र की व्याख्या
विमा \(n\) वाले वेक्टर \(a\) और \(b\) के लिए, डॉट प्रोडक्ट है $$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$ यह कैलकुलेटर इसी विचार को दो या अधिक वेक्टरों तक बढ़ाता है: यह हर वेक्टर में \(i\)-वें घटक को आपस में गुणा करता है और फिर उन सभी गुणनफलों को जोड़ देता है। ठीक दो वेक्टर होने पर यह परिचित डॉट प्रोडक्ट बन जाता है। $$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a = \langle 3, 5, 8 \rangle\) और \(b = \langle 2, 7, 1 \rangle\)। डॉट प्रोडक्ट है $$(3\times 2) + (5\times 7) + (8\times 1) = 6 + 35 + 8 = 49$$ तीन वेक्टरों \(v_1 = \langle 1,2,3 \rangle\), \(v_2 = \langle 4,5,6 \rangle\), \(v_3 = \langle 1,1,2 \rangle\) के लिए, प्रति-घटक गुणनफल \(4\), \(10\) और \(36\) हैं, जिनका योग 50 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या डॉट प्रोडक्ट ऋणात्मक या शून्य हो सकता है? हाँ। दो लंबवत (ऑर्थोगोनल) वेक्टरों का डॉट प्रोडक्ट शून्य होता है, और लगभग विपरीत दिशा में जाते वेक्टर ऋणात्मक परिणाम देते हैं।
अगर मेरे वेक्टरों की लंबाई अलग-अलग हो तो? डॉट प्रोडक्ट केवल समान विमा वाले वेक्टरों के लिए परिभाषित है, इसलिए पदों की संख्या अलग होने पर कैलकुलेटर त्रुटि दिखाएगा।
क्या सार्थक अंक गणित बदल देते हैं? नहीं — यह सिर्फ अंतिम प्रदर्शित मान को राउंड करता है। मूल गणना हमेशा पूर्ण परिशुद्धता से होती है।
