यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल दो वेक्टरों a और b पर दो मूलभूत संक्रियाओं की गणना करता है: आंतरिक (डॉट) गुणनफल और क्रॉस गुणनफल। डॉट प्रोडक्ट का परिणाम एक अदिश (scalar) संख्या होती है, जबकि क्रॉस प्रोडक्ट से एक नया 3-विमीय वेक्टर मिलता है जो दोनों इनपुट वेक्टरों पर लंबवत होता है। इसके अलावा यह कैलकुलेटर क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण और दोनों वेक्टरों के बीच का कोण भी बताता है।
इसका उपयोग कैसे करें
वेक्टर a और वेक्टर b के घटकों को अल्पविराम से अलग करके संख्याओं के रूप में दर्ज करें (उदाहरण के लिए 1, 2, 3)। डॉट प्रोडक्ट के लिए a और b की विमा \(n\) कोई भी हो सकती है, बस दोनों की विमा समान होनी चाहिए। क्रॉस प्रोडक्ट के लिए दोनों वेक्टरों में ठीक तीन घटक होने ज़रूरी हैं। ड्रॉपडाउन से चुनें कि परिणाम में कितने सार्थक अंक दिखाए जाएं; इससे केवल दिखाया गया परिणाम बदलता है, अंदरूनी गणना नहीं।
सूत्रों की व्याख्या
डॉट प्रोडक्ट में समान स्थान के घटकों को आपस में गुणा करके जोड़ा जाता है: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$ यदि परिणाम शून्य आता है, तो इसका मतलब है कि दोनों वेक्टर लंबकोणीय (orthogonal/perpendicular) हैं। क्रॉस प्रोडक्ट से यह वेक्टर बनता है: $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$ कोण इस सूत्र से निकाला जाता है: $$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$ जिसके लिए दोनों वेक्टरों का शून्य न होना ज़रूरी है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए a = (1, 2, 3) और b = (4, 5, 6)। डॉट प्रोडक्ट होगा $$1\times4 + 2\times5 + 3\times6 = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$ क्रॉस प्रोडक्ट के घटक हैं \(c_1 = 2\times6 - 3\times5 = -3\), \(c_2 = 3\times4 - 1\times6 = 6\), \(c_3 = 1\times5 - 2\times4 = -3\), यानी \(\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (-3, 6, -3)\)। इसका परिमाण है \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरा क्रॉस प्रोडक्ट अपरिभाषित (undefined) क्यों दिख रहा है? क्रॉस प्रोडक्ट केवल 3-विमीय वेक्टरों के लिए ही परिभाषित होता है। सुनिश्चित करें कि a और b दोनों में ठीक तीन घटक हों।
डॉट प्रोडक्ट अपरिभाषित क्यों आ रहा है? डॉट प्रोडक्ट के लिए a और b में घटकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि उनकी विमाएं अलग-अलग हैं, तो यह संक्रिया परिभाषित नहीं होती।
शून्य डॉट प्रोडक्ट का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि दोनों वेक्टर लंबकोणीय (orthogonal) हैं, यानी एक-दूसरे से 90 डिग्री के कोण पर हैं।
