वेक्टर अदिश गुणन क्या है?
वेक्टर अदिश गुणन में एक अकेली संख्या (जिसे अदिश या स्केलर कहते हैं और \(\lambda\) से दर्शाया जाता है) और एक वेक्टर a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) लिया जाता है, तथा एक नया वेक्टर c बनाया जाता है जिसमें हर घटक को उस अदिश से गुणा कर दिया गया हो। यह रैखिक बीजगणित (Linear Algebra) की दो बुनियादी संक्रियाओं में से एक है (दूसरी है वेक्टर योग), और यह हर जगह एक समान लागू होती है — यह शुद्ध गणित है, इसमें न कोई इकाई होती है और न ही किसी देश-विशेष का नियम।
ज्यामितीय दृष्टि से देखें तो किसी धनात्मक अदिश से गुणा करने पर वेक्टर अपनी ही दिशा में खिंच या सिकुड़ जाता है; ऋणात्मक अदिश उसे विपरीत दिशा में भी पलट देता है; और अदिश शून्य होने पर वेक्टर सिमटकर शून्य वेक्टर बन जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने वेक्टर के घटकों को अल्पविराम (कॉमा) से अलग करके लिखें (उदाहरण के लिए 1, 2, 3), फिर अदिश \(\lambda\) का मान दर्ज करें। कैलकुलेटर हर घटक को \(\lambda\) से गुणा करके उसी विमा का परिणाम वेक्टर लौटाता है। ऋणात्मक, भिन्नात्मक (दशमलव) और शून्य — सभी मान स्वीकार्य हैं।
सूत्र
यदि a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) हो और अदिश \(\lambda\) दिया गया हो, तो परिणाम होगा
$$\lambda\,\mathbf{a} = \lambda\left(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n\right) = \left(\lambda\,a_1,\ \lambda\,a_2,\ \dots,\ \lambda\,a_n\right)$$दूसरे शब्दों में, हर सूचकांक \(i\) के लिए: \(c_i = \lambda \cdot a_i\)। आउटपुट की विमा सदैव इनपुट की विमा के बराबर ही रहती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए a = \((1, 2, 3)\) और \(\lambda = 3\)। तब \(c_1 = 3 \times 1 = 3\), \(c_2 = 3 \times 2 = 6\), \(c_3 = 3 \times 3 = 9\), यानी \(c = (3, 6, 9)\)। एक और उदाहरण: a = \((-2, 0.5, 4)\) और \(\lambda = -2\) लेने पर \(c = (4, -1, -8)\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह डॉट गुणनफल (dot product) है? नहीं। डॉट (अंतः) गुणनफल दो वेक्टरों को गुणा करके एक अकेली संख्या देता है। यहाँ हम एक वेक्टर को एक अदिश से गुणा करते हैं और बदले में एक वेक्टर पाते हैं।
\(\lambda = 0\) से क्या मिलता है? उसी विमा का शून्य वेक्टर \((0, 0, \dots, 0)\)। \(\lambda = 1\) वेक्टर को ज्यों का त्यों लौटा देता है, और \(\lambda = -1\) उसका विपरीत (ऋणात्मक) वेक्टर देता है।
क्या विमा बदलती है? कभी नहीं — परिणाम वेक्टर में हमेशा ठीक उतने ही घटक होते हैं जितने इनपुट वेक्टर में थे।
