Qu'est-ce que la multiplication d'un vecteur par un scalaire ?
La multiplication d'un vecteur par un scalaire consiste à prendre un nombre unique (un scalaire, noté lambda) et un vecteur a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\), puis à former un nouveau vecteur c dont chaque composante a été multipliée par ce scalaire. C'est l'une des deux opérations fondamentales de l'algèbre linéaire (avec l'addition de vecteurs) et elle s'applique de façon identique partout : il s'agit de mathématiques pures, sans unités ni règles propres à un pays.
Géométriquement, multiplier par un scalaire positif étire ou comprime le vecteur le long de sa propre direction ; un scalaire négatif l'étire ou le comprime puis l'oriente dans le sens opposé ; et un scalaire nul le réduit au vecteur nul.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes de votre vecteur sous forme de nombres séparés par des virgules (par exemple 1, 2, 3), puis indiquez le scalaire lambda. Le calculateur multiplie chaque composante par lambda et renvoie un vecteur résultat de même dimension. Les valeurs négatives, décimales et nulles sont toutes acceptées.
La formule
Soit \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\) et un scalaire lambda ; le résultat est
$$\lambda\,\mathbf{a} = \lambda\left(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n\right) = \left(\lambda\,a_1,\ \lambda\,a_2,\ \dots,\ \lambda\,a_n\right)$$De manière équivalente, pour chaque indice i : \(c_i = \lambda \cdot a_i\). La dimension du résultat est toujours égale à celle du vecteur de départ.
Exemple détaillé
Prenons \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) et \(\lambda = 3\). On obtient $$c_1 = 3 \times 1 = 3, \quad c_2 = 3 \times 2 = 6, \quad c_3 = 3 \times 3 = 9,$$ soit \(\mathbf{c} = (3, 6, 9)\). Un second exemple : \(\mathbf{a} = (-2,\ 0{,}5,\ 4)\) avec \(\lambda = -2\) donne \(\mathbf{c} = (4, -1, -8)\).
FAQ
S'agit-il du produit scalaire ? Non. Le produit scalaire (produit interne) multiplie deux vecteurs et renvoie un seul nombre. Ici, nous multiplions un vecteur par un scalaire et nous obtenons un vecteur.
Que donne lambda = 0 ? Le vecteur nul \((0, 0, \dots, 0)\) de même dimension. \(\lambda = 1\) renvoie le vecteur inchangé, et \(\lambda = -1\) renvoie le vecteur opposé (négatif).
La dimension change-t-elle ? Jamais : le vecteur résultat possède toujours exactement le même nombre de composantes que le vecteur de départ.
