À quoi sert cette calculatrice
Cet outil effectue l'addition et la soustraction de vecteurs, composante par composante. Saisissez deux vecteurs a et b de même dimension (2D, 3D ou un nombre quelconque de composantes), puis choisissez une opération : a + b, a - b ou b - a. La calculatrice renvoie le vecteur résultant c ainsi que sa norme (longueur euclidienne). Il s'agit d'algèbre linéaire pure : le calcul est identique partout.
Comment l'utiliser
Saisissez les composantes du vecteur a et du vecteur b, séparées par des virgules ou des espaces (par exemple 1, 2, 3). Les deux vecteurs doivent comporter exactement le même nombre de composantes. Sélectionnez l'opération souhaitée, puis lisez le vecteur résultant c et sa norme. Les valeurs négatives et décimales sont entièrement prises en charge.
La formule expliquée
Pour chaque indice k de 1 à i, la composante du résultat se calcule directement : pour a + b, \(c_k = a_k + b_k\) ; pour a - b, \(c_k = a_k - b_k\) ; et pour b - a, \(c_k = b_k - a_k\). Notez que a - b est exactement l'opposé de b - a. La norme correspond à la racine carrée de la somme des carrés de toutes les composantes :
$$|\vec{c}| = \sqrt{c_1^{\,2} + c_2^{\,2} + \dots + c_i^{\,2}}$$
Exemple concret
Soit a = (1, 2, 3) et b = (4, 5, 6). Alors
$$\vec{a} + \vec{b} = (1+4,\ 2+5,\ 3+6) = (5,\ 7,\ 9)$$
de norme \(\sqrt{25 + 49 + 81} = \sqrt{155} \approx 12{,}4499\). Pour \(\vec{a} - \vec{b} = (-3, -3, -3)\), la norme vaut \(\sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} \approx 5{,}1962\), soit la même que pour \(\vec{b} - \vec{a} = (3, 3, 3)\).
FAQ
Les vecteurs doivent-ils avoir la même dimension ? Oui. L'addition et la soustraction de vecteurs ne sont définies que pour des vecteurs de même longueur. Des longueurs différentes génèrent une erreur.
Puis-je utiliser plus de trois composantes ? Oui, n'importe quel nombre de composantes positif fonctionne, tant que les deux vecteurs ont la même taille.
Qu'est-ce que la norme ? C'est la longueur du vecteur résultant, calculée comme la norme euclidienne (racine carrée de la somme des carrés des composantes).
