Qu'est-ce que la multiplication d'une matrice par un scalaire ?
La multiplication par un scalaire compte parmi les opérations les plus fondamentales de l'algèbre linéaire. Étant donné une matrice A et un nombre réel unique lambda (le scalaire), le produit scalaire lambda fois A s'obtient en multipliant chaque élément de A par lambda. Le résultat est une nouvelle matrice C possédant exactement le même nombre de lignes et de colonnes que A. Contrairement au produit de deux matrices, aucune condition sur les dimensions n'est requise : l'opération fonctionne sur n'importe quelle matrice rectangulaire.
Comment utiliser ce calculateur
Commencez par choisir le nombre de lignes (i) et de colonnes (j) de votre matrice. Saisissez ensuite les coefficients de la matrice A dans le champ de texte, une ligne par ligne, en séparant les valeurs d'une même ligne par des virgules ou des espaces. Entrez le scalaire lambda : il peut être négatif, décimal ou écrit en notation scientifique, par exemple 1.5e-3. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis validez. Le calculateur renvoie la matrice résultat lambda fois A, en conservant les dimensions d'origine.
La formule expliquée
La règle s'applique élément par élément :
$$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Lignes}, \; j = 1 \ldots \text{Colonnes}$$pour chaque ligne \(i\) et chaque colonne \(j\). Comme chaque élément est mis à l'échelle de façon indépendante, l'opération est à la fois commutative pour le scalaire (\(\lambda A = A \lambda\)) et distributive (\(\lambda \cdot (A + B) = \lambda A + \lambda B\)). Un scalaire égal à 0 donne la matrice nulle ; un scalaire égal à 1 renvoie A inchangée ; et un scalaire égal à -1 renvoie l'opposée de A.
Exemple détaillé
Soit A = [[1, 2], [3, 4]] et \(\lambda = -5\). On obtient alors $$c_{11} = -5 \times 1 = -5, \quad c_{12} = -5 \times 2 = -10, \quad c_{21} = -5 \times 3 = -15, \quad c_{22} = -5 \times 4 = -20.$$ Le résultat est C = [[-5, -10], [-15, -20]]. Pour un second exemple, en multipliant A = [[2, -1, 0], [4, 3, 5]] par \(\lambda = 0.5\), on obtient [[1, -0.5, 0], [2, 1.5, 2.5]].
FAQ
La matrice doit-elle être carrée ? Non. N'importe quelle forme rectangulaire convient, y compris les vecteurs lignes et les vecteurs colonnes. Le résultat conserve la même forme.
Que se passe-t-il avec une cellule vide ? Les coefficients manquants sont considérés comme 0 : une ligne incomplète est donc complétée par des zéros jusqu'au nombre de colonnes choisi.
Le scalaire peut-il être une fraction ou un nombre négatif ? Oui. Les nombres négatifs, les décimaux et la notation scientifique sont tous pris en charge, et un scalaire égal à 0 produit la matrice nulle.
