Qu'est-ce que la multiplication d'une matrice par un scalaire ?
La multiplication par un scalaire fait partie des opérations les plus fondamentales de l'algèbre linéaire. Lorsque vous multipliez une matrice A par un seul nombre (un scalaire) c, il suffit de multiplier chaque coefficient de la matrice par ce nombre. On obtient une nouvelle matrice de dimensions strictement identiques, dont chaque élément a été mis à l'échelle par c. Ce calculateur traite les matrices 2×2, le format le plus courant en classe, en géométrie et en initiation à l'algèbre.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez la valeur du scalaire c dans le premier champ. Renseignez ensuite les quatre coefficients de votre matrice A : la ligne du haut (a11, a12) et la ligne du bas (a21, a22). Cliquez sur « Calculer » : l'outil renvoie la matrice mise à l'échelle cA, chaque élément étant multiplié par votre scalaire. Les scalaires négatifs et les nombres décimaux sont entièrement pris en charge.
La formule expliquée
La règle s'écrit de façon compacte : $$\text{c} \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{c}\,a_{11} & \text{c}\,a_{12} \\ \text{c}\,a_{21} & \text{c}\,a_{22} \end{bmatrix}$$ Les indices ij désignent le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j. Pour une matrice 2×2, les quatre coefficients résultants sont donc \(c\cdot a_{11}\), \(c\cdot a_{12}\), \(c\cdot a_{21}\) et \(c\cdot a_{22}\). Aucun mélange entre lignes ou colonnes : chaque coefficient est traité indépendamment.
Exemple résolu
Prenons \(c = 3\) et \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\). En multipliant chaque coefficient par 3, on obtient $$cA = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}.$$ On remarque que la structure de la matrice reste inchangée : seule la grandeur de chaque coefficient est multipliée par le facteur 3.
FAQ
La multiplication par un scalaire modifie-t-elle la taille de la matrice ? Non. Le résultat comporte toujours le même nombre de lignes et de colonnes que la matrice de départ.
Que se passe-t-il avec un scalaire égal à 0 ? Chaque coefficient devient 0, ce qui donne la matrice nulle.
Le scalaire peut-il être négatif ou fractionnaire ? Oui. Un scalaire négatif inverse le signe de chaque coefficient, tandis qu'un scalaire fractionnaire réduit les coefficients proportionnellement.
