Что такое умножение матрицы на скаляр?
Умножение на скаляр — одна из базовых операций линейной алгебры. Когда вы умножаете матрицу A на одно число (скаляр) c, вы просто умножаете на это число каждый элемент матрицы. В результате получается новая матрица того же размера, в которой каждый элемент увеличен или уменьшен в c раз. Этот калькулятор работает с матрицами 2×2 — самым распространённым размером, который встречается в школьных и вузовских задачах, в геометрии и на первых занятиях по алгебре.
Как пользоваться калькулятором
Введите значение скаляра c в первое поле. Затем заполните четыре элемента матрицы A размером 2×2: верхнюю строку (a11, a12) и нижнюю строку (a21, a22). Нажмите «Вычислить» — и калькулятор покажет масштабированную матрицу cA, где каждый элемент умножен на ваш скаляр. Отрицательные числа и дроби поддерживаются полностью.
Разбор формулы
Правило записывается кратко:
$$ (cA)_{ij} = c \times A_{ij} $$Индекс ij указывает на элемент, стоящий в строке i и столбце j. Поэтому для матрицы 2×2 четыре итоговых элемента равны \(c \cdot a_{11}\), \(c \cdot a_{12}\), \(c \cdot a_{21}\) и \(c \cdot a_{22}\). Строки и столбцы при этом не перемешиваются — каждый элемент обрабатывается независимо.
$$ \text{c} \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{c}\,a_{11} & \text{c}\,a_{12} \\ \text{c}\,a_{21} & \text{c}\,a_{22} \end{bmatrix} $$
Пример с решением
Пусть \(c = 3\) и \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\). Умножая каждый элемент на 3, получаем
$$ cA = 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} $$Обратите внимание: структура матрицы не меняется — растёт только величина каждого элемента, в данном случае в 3 раза.
Частые вопросы
Меняется ли размер матрицы при умножении на скаляр? Нет. У результата всегда столько же строк и столбцов, сколько у исходной матрицы.
Что будет, если скаляр равен 0? Все элементы станут нулями — получится нулевая матрица.
Можно ли использовать отрицательный или дробный скаляр? Да. Отрицательный скаляр меняет знак каждого элемента, а дробный — пропорционально уменьшает значения.
