행렬의 스칼라 곱이란?
스칼라 곱은 선형대수에서 가장 기본이 되는 연산 중 하나입니다. 행렬 A에 하나의 숫자(스칼라) c를 곱한다는 것은 행렬의 모든 원소 각각에 그 숫자를 곱한다는 뜻입니다. 그 결과로 크기는 그대로이면서 각 원소가 c배만큼 커지거나 작아진 새로운 행렬이 만들어집니다. 이 계산기는 교실 수업, 기하, 기초 대수에서 가장 자주 쓰이는 크기인 2×2 행렬을 다룹니다.
계산기 사용법
먼저 첫 번째 칸에 스칼라 값 c를 입력하세요. 그다음 2×2 행렬 A의 네 원소를 채워 넣습니다. 윗줄(a11, a12)과 아랫줄(a21, a22) 순서입니다. 계산 버튼을 누르면 모든 원소에 스칼라가 곱해진 결과 행렬 cA가 나타납니다. 음수 스칼라와 소수도 모두 지원합니다.
공식 한눈에 보기
이 규칙은 간단하게 \((cA)_{ij} = c \times A_{ij}\)로 표현됩니다. 아래 첨자 ij는 i행 j열에 있는 원소를 가리킵니다. 따라서 2×2 행렬에서는 결과의 네 원소가 각각 c·a11, c·a12, c·a21, c·a22가 됩니다.
$$\text{c} \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{c}\,a_{11} & \text{c}\,a_{12} \\ \text{c}\,a_{21} & \text{c}\,a_{22} \end{bmatrix}$$행이나 열이 서로 섞이는 일은 없으며, 모든 원소가 독립적으로 처리됩니다.
예제로 풀어 보기
\(c = 3\)이고 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)라고 해 봅시다. 각 원소에 3을 곱하면 다음과 같습니다.
$$3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$$행렬의 구조 자체는 변하지 않고, 각 원소의 크기만 3배로 커진다는 점에 주목하세요.
자주 묻는 질문
스칼라 곱을 하면 행렬의 크기가 바뀌나요? 아닙니다. 결과 행렬은 항상 원래 행렬과 같은 행 수, 같은 열 수를 가집니다.
스칼라가 0이면 어떻게 되나요? 모든 원소가 0이 되어 영행렬이 만들어집니다.
스칼라가 음수나 분수여도 되나요? 네. 음수 스칼라는 모든 원소의 부호를 바꾸고, 분수(소수) 스칼라는 각 원소를 그 비율만큼 줄입니다.
