मैट्रिक्स का स्केलर गुणन क्या होता है?
स्केलर गुणन रैखिक बीजगणित (लीनियर अल्जेब्रा) की सबसे बुनियादी क्रियाओं में से एक है। जब आप किसी मैट्रिक्स A को किसी एक संख्या यानी स्केलर c से गुणा करते हैं, तो आप बस मैट्रिक्स के हर एक तत्व को उसी संख्या से गुणा कर देते हैं। नतीजा बिल्कुल उसी आकार का एक नया मैट्रिक्स होता है, जिसमें हर तत्व c के अनुपात में बढ़ या घट जाता है। यह कैलकुलेटर 2×2 मैट्रिक्स पर काम करता है — यही आकार कक्षाओं, ज्यामिति और शुरुआती बीजगणित में सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले खाने में स्केलर मान c भरें। इसके बाद अपने 2×2 मैट्रिक्स A के चारों मान दर्ज करें: ऊपरी पंक्ति (a11, a12) और नीचे की पंक्ति (a21, a22)। "गणना करें" पर क्लिक करते ही टूल स्केल किया गया मैट्रिक्स cA दिखाएगा, जिसमें हर तत्व आपके स्केलर से गुणा हो चुका होगा। ऋणात्मक स्केलर और दशमलव संख्याएँ भी पूरी तरह समर्थित हैं।
सूत्र की समझ
इस नियम को संक्षेप में इस तरह लिखा जाता है: $$\text{c} \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{c}\,a_{11} & \text{c}\,a_{12} \\ \text{c}\,a_{21} & \text{c}\,a_{22} \end{bmatrix}$$ \((cA)_{ij} = c \times A_{ij}\)। यहाँ नीचे लिखा ij उस तत्व को दर्शाता है जो पंक्ति i और स्तंभ j में स्थित है। इसलिए 2×2 मैट्रिक्स में चारों परिणामी तत्व होंगे: \(c \cdot a_{11}\), \(c \cdot a_{12}\), \(c \cdot a_{21}\) और \(c \cdot a_{22}\)। यहाँ किसी पंक्ति या स्तंभ का आपस में मेल नहीं होता — हर तत्व अलग-अलग और स्वतंत्र रूप से गुणा होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(c = 3\) और \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)। हर तत्व को 3 से गुणा करने पर $$cA = 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$$ मिलता है। ध्यान दें कि मैट्रिक्स की बनावट बिल्कुल वैसी ही रहती है; सिर्फ़ हर तत्व का मान 3 गुना बढ़ जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या स्केलर गुणन से मैट्रिक्स का आकार बदल जाता है? नहीं। परिणाम में हमेशा उतनी ही पंक्तियाँ और स्तंभ रहते हैं जितने मूल मैट्रिक्स में थे।
अगर स्केलर 0 हो तो क्या होगा? तब हर तत्व 0 हो जाता है और शून्य मैट्रिक्स (ज़ीरो मैट्रिक्स) बनता है।
क्या स्केलर ऋणात्मक या भिन्नात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक स्केलर हर तत्व का चिह्न बदल देता है, जबकि भिन्नात्मक स्केलर हर तत्व को अनुपात में छोटा कर देता है।
