¿Qué es la multiplicación de una matriz por un escalar?
La multiplicación por un escalar es una de las operaciones más básicas del álgebra lineal. Cuando multiplicas una matriz A por un único número (un escalar) c, lo que haces es multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por ese número. El resultado es una nueva matriz con exactamente las mismas dimensiones, en la que cada elemento ha quedado escalado por \(c\). Esta calculadora trabaja con matrices 2×2, el tamaño más habitual en el aula, en geometría y en los primeros cursos de álgebra.
Cómo usar esta calculadora
Escribe el valor del escalar \(c\) en el primer campo. A continuación, rellena los cuatro elementos de tu matriz A 2×2: la fila superior (a11, a12) y la fila inferior (a21, a22). Pulsa en calcular y la herramienta te devolverá la matriz escalada cA, con cada elemento multiplicado por tu escalar. Admite sin problemas escalares negativos y decimales.
La fórmula explicada
La regla se escribe de forma compacta como $$(cA)_{ij} = c \times A_{ij}$$ El subíndice ij indica el elemento situado en la fila i y la columna j. Así, para una matriz 2×2 los cuatro elementos resultantes son \(c \cdot a_{11}\), \(c \cdot a_{12}\), \(c \cdot a_{21}\) y \(c \cdot a_{22}\). En forma matricial:
$$\text{c} \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{c}\,a_{11} & \text{c}\,a_{12} \\ \text{c}\,a_{21} & \text{c}\,a_{22} \end{bmatrix}$$No hay ninguna mezcla entre filas o columnas: cada elemento se trata de forma independiente.
Ejemplo resuelto
Imagina que \(c = 3\) y \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\). Al multiplicar cada elemento por 3 obtenemos:
$$3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$$Fíjate en que la estructura de la matriz no cambia; lo único que crece, por un factor de 3, es la magnitud de cada elemento.
Preguntas frecuentes
¿La multiplicación por un escalar cambia el tamaño de la matriz? No. El resultado siempre tiene el mismo número de filas y columnas que la matriz original.
¿Qué ocurre si el escalar es 0? Todos los elementos se convierten en 0, dando lugar a la matriz nula.
¿Puede el escalar ser negativo o una fracción? Sí. Un escalar negativo cambia el signo de todos los elementos, y los escalares fraccionarios reducen los elementos de forma proporcional.
