ما المقصود بالضرب القياسي للمصفوفة؟
يُعد الضرب القياسي من أبسط العمليات الأساسية وأكثرها شيوعًا في الجبر الخطي. فعندما تضرب مصفوفة A في عدد مفرد يُسمى العدد القياسي c، فإنك ببساطة تضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا العدد. وتكون النتيجة مصفوفة جديدة لها الأبعاد نفسها تمامًا، حيث جرى تكبير أو تصغير كل عنصر فيها بالمعامل \(c\). تتعامل هذه الحاسبة مع مصفوفات 2×2، وهي الأكثر استخدامًا في الفصول الدراسية والهندسة ومقررات الجبر التمهيدية.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة العدد القياسي \(c\) في الحقل الأول، ثم املأ العناصر الأربعة للمصفوفة A ذات الحجم 2×2: الصف العلوي (a11، a12) والصف السفلي (a21، a22). اضغط على زر الحساب لتعرض لك الأداة المصفوفة الناتجة cA بعد ضرب كل عنصر فيها بالعدد القياسي. وتدعم الحاسبة الأعداد السالبة والكسور العشرية بشكل كامل.
شرح القانون
يُكتب القانون بصيغة مختصرة على النحو $$\text{c} \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{c}\,a_{11} & \text{c}\,a_{12} \\ \text{c}\,a_{21} & \text{c}\,a_{22} \end{bmatrix}$$ ويشير الرمز السفلي ij إلى العنصر الواقع في الصف i والعمود j. وعليه، فإن العناصر الأربعة الناتجة لمصفوفة 2×2 هي: \(c \cdot a_{11}\)، و\(c \cdot a_{12}\)، و\(c \cdot a_{21}\)، و\(c \cdot a_{22}\). ولا يحدث أي خلط بين الصفوف أو الأعمدة، إذ يُعالَج كل عنصر على حدة بشكل مستقل.
مثال محلول
لنفترض أن \(c = 3\) وأن \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\). عند ضرب كل عنصر في 3 نحصل على $$cA = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$$ لاحظ أن بنية المصفوفة تبقى دون تغيير، وكل ما حدث هو أن مقدار كل عنصر تضاعف بالمعامل 3.
الأسئلة الشائعة
هل يغيّر الضرب القياسي حجم المصفوفة؟ لا. تظل النتيجة محتفظة بالعدد نفسه من الصفوف والأعمدة الموجودة في المصفوفة الأصلية.
ماذا يحدث عندما يكون العدد القياسي صفرًا؟ يتحول كل عنصر إلى صفر، فينتج عن ذلك المصفوفة الصفرية.
هل يمكن أن يكون العدد القياسي سالبًا أو كسريًا؟ نعم. العدد القياسي السالب يعكس إشارة كل عنصر، أما العدد الكسري فيقلّص قيم العناصر بنسبة متناسبة.
