Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula cuatro de las normas matriciales más utilizadas para cualquier matriz real n × m A = {a_ij}: la norma L1 (máxima suma de valores absolutos por columnas), la norma L2 / espectral (el mayor valor singular), la norma de Frobenius (raíz de la suma de los cuadrados de todos los elementos) y la norma L-infinito (máxima suma de valores absolutos por filas). Las normas matriciales miden el «tamaño» de una matriz y el factor máximo por el que puede estirar un vector, lo que las hace imprescindibles en álgebra lineal numérica, optimización, aprendizaje automático y análisis de estabilidad. Se trata de matemáticas puras, idénticas en cualquier lugar del mundo.
Cómo usarla
Indica el número de filas (\(n\)) y de columnas (\(m\)) y, a continuación, escribe la matriz en el cuadro de texto, una fila por línea, separando los elementos con espacios o comas. Cualquier celda vacía se interpreta como 0. Elige cuántas cifras significativas quieres mostrar y lee directamente las cuatro normas. Los valores negativos se gestionan de forma automática, ya que cada fórmula emplea valores absolutos donde corresponde.
Las fórmulas explicadas
La norma 1 suma los valores absolutos de cada columna y se queda con el total más grande.
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$La norma infinito hace lo mismo, pero recorriendo cada fila.
$$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$La norma de Frobenius «aplana» la matriz convirtiéndola en un vector y calcula su longitud euclídea: la raíz cuadrada de la suma de cada elemento al cuadrado.
$$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$La norma espectral coincide con el mayor valor singular \(\sigma_{\max}(\text{A})\), que se obtiene como la raíz cuadrada del mayor autovalor de la matriz de Gram simétrica A-transpuesta por A; ese autovalor lo calculamos mediante iteración de la potencia.
$$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$Una matriz formada solo por ceros hace que las cuatro normas valgan directamente 0.
Ejemplo resuelto
Para \(A = [[1, 2], [3, 4]]\): las sumas por columnas son 4 y 6, así que la norma L1 es 6; las sumas por filas son 3 y 7, de modo que la norma L-infinito es 7. La norma de Frobenius es
$$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5{,}4772255751.$$La matriz de Gram A-transpuesta por A \(= [[10,14],[14,20]]\) tiene autovalores que resuelven \(\lambda^{2} - 30\cdot\lambda + 4 = 0\), lo que da \(\lambda_{\max} = 29{,}8660687473\), así que la norma espectral es
$$\sqrt{29{,}8660687473} = 5{,}4649857042.$$Preguntas frecuentes
¿Es la norma espectral lo mismo que la norma de Frobenius? Solo en matrices de rango 1 (como un único vector fila o columna). En general, \(\text{norm2}\) es menor o igual que \(\text{normF}\), que a su vez es como máximo \(\sqrt{\text{rango}}\) veces \(\text{norm2}\).
¿Y con matrices complejas? Sustituye cada elemento por su módulo en las partes de valor absoluto y utiliza la traspuesta conjugada para la norma espectral. Esta calculadora está pensada para matrices reales.
¿Por qué la norma L1 usa columnas y la L-infinito usa filas? Son las normas inducidas (de operador) a partir de las normas vectoriales L1 y L-infinito, y resultan ser, respectivamente, la máxima suma por columnas y la máxima suma por filas.
