Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет четыре самые распространённые нормы для любой вещественной матрицы \(A = \{a_{ij}\}\) размера \(n \times m\): норму L1 (наибольшую сумму модулей по столбцу), норму L2 / спектральную (наибольшее сингулярное число), норму Фробениуса (корень из суммы квадратов всех элементов) и норму L∞ (наибольшую сумму модулей по строке). Нормы матрицы показывают её «величину» и максимальный коэффициент, на который она способна растянуть вектор, поэтому они незаменимы в численной линейной алгебре, оптимизации, машинном обучении и анализе устойчивости. Это чистая математика, и результат одинаков в любой стране.
Как пользоваться
Задайте количество строк (\(n\)) и столбцов (\(m\)), затем введите матрицу в текстовое поле — по одной строке на каждую строку матрицы, разделяя элементы пробелами или запятыми. Любая пустая ячейка считается равной 0. Выберите число значащих цифр для вывода и сразу получите все четыре нормы. Отрицательные элементы обрабатываются автоматически: в нужных формулах используются модули.
Разбор формул
Норма L1 суммирует модули элементов по каждому столбцу и берёт наибольшую из этих сумм.
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$Норма L∞ делает то же самое, но по строкам.
$$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$Норма Фробениуса «вытягивает» матрицу в один вектор и считает его евклидову длину — корень из суммы квадратов всех элементов.
$$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$Спектральная норма равна наибольшему сингулярному числу \(\sigma_{\max}(\text{A})\), которое находится как корень из наибольшего собственного значения симметричной матрицы Грама \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\); это собственное значение мы вычисляем степенным методом.
$$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$Для нулевой матрицы все нормы сразу равны 0.
Разобранный пример
Для \(A = [[1, 2], [3, 4]]\): суммы по столбцам равны 4 и 6, поэтому норма L1 равна 6; суммы по строкам равны 3 и 7, поэтому норма L∞ равна 7. Норма Фробениуса:
$$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5{,}4772255751$$Матрица Грама \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A} = [[10,14],[14,20]]\) имеет собственные значения, удовлетворяющие уравнению
$$\lambda^{2} - 30\lambda + 4 = 0$$откуда \(\lambda_{\max} = 29{,}8660687473\), а значит спектральная норма равна
$$\sqrt{29{,}8660687473} = 5{,}4649857042$$Частые вопросы
Спектральная норма и норма Фробениуса — это одно и то же? Только для матриц ранга 1 (например, для одной строки или одного столбца). В общем случае \(\|\cdot\|_{2} \le \|\cdot\|_{F}\), причём \(\|\cdot\|_{F}\) не превышает \(\sqrt{\text{ранг}}\cdot\|\cdot\|_{2}\).
А как быть с комплексными матрицами? В частях с модулями замените каждый элемент его абсолютным значением, а для спектральной нормы используйте сопряжённое транспонирование. Этот калькулятор рассчитан на вещественные матрицы.
Почему норма L1 использует столбцы, а L∞ — строки? Это операторные (индуцированные) нормы, порождённые векторными нормами L1 и L∞, и при выводе формул они дают именно максимальные суммы по столбцам и по строкам соответственно.
