Калькулятор определителя квадратной матрицы n×n

Введите расчет

Размер матрицы (n) Размерность квадратной матрицы (от 1 до 10). Измените значение и откройте заново, чтобы изменить размер таблицы.

Элементы матрицы (по строкам)

Число отображаемых значащих цифр 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Результатов

Определитель det(A)

-3

3×3 matrix

Обратная величина 1/det(A)	-0,33333333333333
Размер матрицы (n)	3
Вырожденная?	No (invertible)

Что такое калькулятор определителя матрицы n×n?

Этот инструмент вычисляет определитель det(A) любой квадратной матрицы n×n с действительными числами, а также обратную к нему величину \(\frac{1}{\det(A)}\). Определитель — это одно число, по которому сразу видно, обратима ли матрица (det ≠ 0) или вырождена (det = 0). Он встречается во всей линейной алгебре, в геометрии (масштабирование ориентированного объёма) и при решении систем уравнений. Математика здесь универсальна — правила работают одинаково в любой стране.

Как пользоваться калькулятором

Задайте размер матрицы \(n\) (от 1 до 10), затем заполните каждый элемент a_ij в таблице. Значения могут быть отрицательными, дробными или равными нулю. При необходимости выберите число отображаемых разрядов для большей точности. Калькулятор выдаёт определитель, а если матрица обратима — ещё и обратную величину \(\frac{1}{\det(A)}\). Когда определитель равен нулю, матрица помечается как вырожденная, а величина \(\frac{1}{\det(A)}\) считается неопределённой.

Формула

Определитель можно задать через разложение Лапласа (по минорам и алгебраическим дополнениям) вдоль строки:

$$\det(A) = \sum_{j} a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$$

где M_ij — минор, полученный вычёркиванием строки i и столбца j. Для n = 2 формула проста: \(\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\). Ради вычислительной устойчивости и скорости калькулятор использует метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента: матрица A приводится к верхнетреугольному виду, отслеживаются перестановки строк (они меняют знак), а затем перемножаются элементы главной диагонали —

$$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{\text{n}} U_{kk}$$

Разложение по алгебраическим дополнениям (Лапласа) по первой строке с чередующимся знаком +/-.

Разбор примера

Возьмём A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]:

$$\det = 1(5\cdot 10 - 6\cdot 8) - 2(4\cdot 10 - 6\cdot 7) + 3(4\cdot 8 - 5\cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$

Итого \(\det(A) = -3\), а \(\frac{1}{\det(A)} \approx -0{,}3333\).

После метода Гаусса определитель равен произведению диагональных элементов (умноженному на знак перестановки строк).

Частые вопросы

Что означает определитель, равный 0? Матрица вырождена: её строки или столбцы линейно зависимы, обратной матрицы не существует, а значение \(\frac{1}{\det(A)}\) не определено.

Можно ли вводить дробные и отрицательные значения? Да — принимаются любые действительные числа.

Почему используется метод Гаусса, а не разложение по дополнениям? Разложение по алгебраическим дополнениям требует \(O(n!)\) операций, тогда как метод Гаусса работает за \(O(n^3)\) и остаётся численно устойчивым для матриц большого размера.