行列式計算ツール（n次行列）とは
このツールは、実数を成分とする任意の n×n 正方行列について、行列式 \(\det(A)\) とその逆数 \(1/\det(A)\) を計算します。行列式とは、その行列が逆行列を持つ（\(\det \ne 0\)）か、特異行列である（\(\det = 0\)）かを判定できる、たった1つの数値です。線形代数のあらゆる場面はもちろん、幾何学（符号付き体積の拡大率）や連立方程式の解法でも登場する基本的な量です。計算の定義は世界共通で、どの国でも同じ結果になります。
使い方
まず行列のサイズ \(n\)（1〜10）を指定し、グリッドに各成分 \(a_{ij}\) を入力します。成分には負の数・小数・ゼロを使用できます。より高い精度で結果を見たい場合は、表示する桁数を選んでください。ツールは行列式を返し、行列が正則（逆行列を持つ）であれば逆数 \(1/\det(A)\) も同時に表示します。行列式が 0 の場合は特異行列と判定し、逆数は「定義されない」と表示します。
計算式
行列式は、ある行に沿ったラプラス展開（余因子展開）で定義できます。$$\det(A) = \sum_{j} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$ここで \(M_{ij}\) は第 i 行と第 j 列を取り除いて得られる小行列式です。\(n = 2\) のときは $$\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$$ となります。本ツールでは数値的な安定性と計算速度を考慮し、部分ピボット選択を伴うガウスの消去法を採用しています。行列 \(A\) を上三角行列に変形しながら行の入れ替えによる符号変化を記録し、対角線上のピボットを掛け合わせます ── $$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{\text{n}} U_{kk}$$
計算例
\(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\) のとき：$$\det = 1(5 \cdot 10 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 10 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$したがって \(\det(A) = -3\)、\(1/\det(A) \approx -0.3333\) となります。
よくある質問
行列式が 0 になるとどういう意味ですか？ その行列は特異行列です。行（または列）が線形従属の関係にあり、逆行列は存在しません。そのため \(1/\det(A)\) は定義されません。
成分に小数や負の数を使えますか？ はい。任意の実数を入力できます。
余因子展開ではなく消去法を使うのはなぜですか？ 余因子展開は \(O(n!)\) の演算量を必要としますが、ガウスの消去法は \(O(n^3)\) で済み、大きな行列でも数値的に安定して計算できるためです。
