4×4行列の行列式とは？

行列式とは、正方行列の重要な性質を1つのスカラー値に集約したものです。4×4行列Aの場合、行列式を見れば、その行列が逆行列を持つ（行列式が0でない）か、特異行列である（行列式が0）かを判断できます。また、線形変換Aによる4次元体積の符号付き拡大率を表す値でもあります。本ツールは、厳密な余因子展開を用いて、任意の4×4行列の$\det(A)$を計算します。

添字付きの行列成分が並ぶ4×4のグリッド — 4×4行列は、4行4列に並んだ16個の成分を持ちます。

使い方

グリッドに行列の16個の成分をすべて入力してください。$a_{ij}$は第i行・第j列に位置します。小数や負の値も入力できます。計算ボタンを押すと、行列式の値と、その行列が逆行列を持つかどうかが表示されます。

計算式の解説

第1行に沿ったラプラス展開（余因子展開）を使います。

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}$$

$$\det(A) = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} - a_{14}M_{14}$$

各$M_{1j}$は、第1行と第j列を取り除いてできる小行列の3×3行列式です。

$$M_{1j} = \det\big(A_{\hat{1}\hat{j}}\big)$$

符号は$(-1)^{1+j}$に従って、＋、−、＋、−と交互に変化します。さらに、それぞれの3×3小行列式は2×2行列式へと展開され、厳密な結果が得られます。

第1行を強調した4×4行列が、符号が交互する4つの3×3小行列式に展開される様子 — 第1行に沿った余因子展開により、$\det(A)$は符号付きの4つの3×3小行列式に分解されます。

計算例

単位行列（対角成分が1、その他が0）の場合、対角以外の積はすべて打ち消し合い、$\det = 1\times1\times1\times1 = 1$となります。また、対角成分が2、3、4、5の対角行列では、行列式は対角成分の積、つまり$2\times3\times4\times5 = 120$になります。

行列式の解釈

4×4行列 $A$ の行列式は、線形変換 $x\mapsto Ax$ が4次元空間をどのように変形するかを符号化する単一のスカラーです。結果は以下のように読み取ります。

符号 — 向き

正の行列式は、変換が座標系の向き（ハンドネス）を保存することを意味します。負の行列式は、向きが反転されることを意味します（鏡映が関係しています）。符号だけでは、空間がどれだけ拡大されるかについては何も教えてくれません。基底が反転しているかどうかだけです。

絶対値 — 4次元体積のスケーリング

det = 0 — 特異行列で可逆性がない

$\det(A)=0$ のとき、行列は4次元空間をより低次元の部分空間（3次元以下の「平面」）に潰し、体積を破棄します。そのような行列は特異です。逆行列を持たず、線形系 $Ax=b$ は一意解を持たず、少なくとも1つの行（および1つの列）は他の行の線形結合です。

逆行列と線形独立性との関係

行列が可逆であるのは、$\det(A)\neq 0$ の場合のみです。ゼロでない場合、逆行列の行列式は $\det(A^{-1})=1/\det(A)$ を満たすため、小さい $|\det|$ は準特異で数値的に不安定な逆行列を示唆します。ゼロでない行列式も、4つの行（同等に、4つの列）が線形独立で4次元空間全体を張ることの正確な条件です。

主要用語と定義

行列式: 正方行列に関連するスカラー値 $\det(A)$。対応する線形写像の符号付き体積スケーリング係数を測定し、行列が可逆であるかどうかを示します。
小行列式: 元の行列から行 $i$ と列 $j$ を削除して得られた、より小さい（ここでは3×3の）行列の行列式 $M_{ij}$
余因子: 符号付き小行列式、$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。交互の $(-1)^{i+j}$ 符号は展開で使用される市松模様 $+\,-\,+\,-$ を生成します。
ラプラス（余因子）展開: 選択した行または列に沿って展開することで行列式を計算する方法：$\det(A)=\sum_{j} a_{ij}C_{ij}$。4×4行列の場合、これは問題を4つの3×3行列式に削減します。
特異行列: 行列式がゼロである正方行列。逆行列を持たず、その行（および列）は線形従属です。
可逆（非特異）行列: $\det(A)\neq 0$ を満たす正方行列。一意の逆行列 $A^{-1}$ が存在し、$AA^{-1}=I$ を満たします。
部分行列: より大きな行列の行と列の部分集合を選択することで形成される任意の行列。1つの行と1つの列を削除すると、その行列式が小行列式である部分行列が得られます。
スカラー: 単一の数値（ベクトルまたは行列とは対照的に）。行列の行列式は常にスカラーです。

よくある質問

行列式が0になると、どういう意味ですか？ その行列は特異行列であり、逆行列を持ちません。行や列が線形従属の関係にあり、変換によって体積が0につぶれてしまうことを意味します。

展開する行によって結果は変わりますか？ いいえ。どの行・列に沿って展開しても、行列式の値は同じになります。第1行を使うのは単に計算が便利だからです。

小数や負の値も入力できますか？ はい。任意の実数を入力でき、行列式は浮動小数点の完全な精度で計算されます。

計算方法	第1行に沿った余因子展開（ラプラス展開）
逆行列を持つか？	Yes (det ≠ 0)

4×4行列の行列式計算ツール

計算を入力してください

公式

結果