RREF行列計算機とは？
RREF行列計算機は、入力した任意の行列について「行簡約階段形（既約行階段形）」を計算するツールです。行簡約階段形（RREF：Reduced Row Echelon Form）とは、ガウスの消去法によって得られる、行列を最もシンプルな形にまとめたものを指します。連立方程式を解く、行列のランク（階数）を求める、ベクトルが一次独立かどうかを判定する、ベクトル空間の基底を見つけるなど、線形代数のさまざまな場面で世界中で活用されています。この計算機は数学の普遍的なツールであり、特定の国や教育課程に縛られるものではありません。
計算機の使い方
- 行列の行数と列数を入力します。
- 各要素を入力（または貼り付け）します。システムが対応していれば小数や分数も使えます。
- 「計算」をクリックすると、RREFの結果がすぐに表示されます。
- 自分で手計算した結果と見比べて、検算に活用しましょう。
宿題の答え合わせをしたい学生、例題を準備する先生、そして計算ミスなく素早く正確な答えがほしいすべての方にぴったりのツールです。
行簡約階段形（RREF）とは
行列が次の4つの条件をすべて満たすとき、その行列はRREFの状態にあります。
- 要素がすべて0の行は、いちばん下に並んでいる。
- 0でない各行の先頭の要素（ピボット）が1になっている。
- 各ピボットの1は、1つ上の行のピボットよりも右側に位置している。
- 各ピボットの1は、その列の中で唯一の0でない要素になっている。
計算機は、行の入れ替え・行の定数倍・ある行の定数倍を別の行に加える、といった基本変形を繰り返し行い、これらの条件を満たす形へと整えていきます。
$$\mathbf{A} \;\xrightarrow[\;\text{row operations}\;]{\text{Gauss-Jordan}}\; \mathbf{R} = \text{RREF}\left( \mathbf{A} \right)$$
計算例
次の連立方程式を表す行列を考えてみましょう。
\([\, 1 \;\; 2 \;\mid\; 5 \,]\) と \([\, 3 \;\; 4 \;\mid\; 6 \,]\)
第2行から第1行の3倍を引くと、\([\, 0 \;\; -2 \;\mid\; -9 \,]\) になります。この行を-2で割ってピボットを1にし、続いてその上の要素を消去します。最終的なRREFは次のとおりです。
\([\, 1 \;\; 0 \;\mid\; -4 \,]\) と \([\, 0 \;\; 1 \;\mid\; 4.5 \,]\)。これより、\(x = -4\)、\(y = 4.5\) と求まります。
よくある質問
REFとRREFの違いは何ですか？ 行階段形（REF：Row Echelon Form）は、ピボットが階段状に並び、その下がすべて0になっていれば条件を満たします。一方RREFはさらに踏み込んで、各ピボットを1にし、その上下の要素もすべて0であることまで求めます。
RREFで「解なし」かどうか判定できますか？ できます。左辺がすべて0になっているのに右辺が0でない値（たとえば \(0 = 1\)）になる行が現れた場合、その連立方程式は矛盾しており、解は存在しません。
RREFは一意に決まりますか？ はい。どの行列にも行簡約階段形はただ1つだけ存在します。途中でどのような有効な行変形を、どんな順序で行っても、たどり着くRREFは常に同じです。
