Что делает этот калькулятор
Это развлекательный инструмент теории чисел, навеянный Великой теоремой Ферма. Сама теорема утверждает, что при целом \(n \ge 3\) не существует натуральных чисел \(X\), \(Y\), \(Z\), для которых \(X^n + Y^n = Z^n\). Здесь мы обобщаем левую часть равенства до суммы \(n\) последовательных \(n\)-х степеней и проверяем гипотезу: не существует натуральных чисел \(a\) и \(b\) таких, что сумма \(n\) последовательных \(n\)-х степеней, начиная с \(a\), равна \(b^n\), при \(n \ge 4\). Для каждого показателя \(n\) из заданного вами диапазона калькулятор перебирает все начальные основания \(a\) и выводит найденную пару \((a, b)\) либо печатает «--», если в этом окне решений нет.
Как пользоваться
Укажите наименьший и наибольший показатель \(n\) (\(n \ge 2\)), а также наименьшее и наибольшее начальное основание \(a\) (\(a \ge 1\)). Калькулятор перебирает каждое \(n\), и для каждого \(a\) вычисляет $$S = a^n + (a+1)^n + \ldots + (a+n-1)^n,$$ находит целочисленный корень \(n\)-й степени из \(S\) и точно проверяет результат с помощью арифметики длинных чисел. Учтите: перебор широких диапазонов идёт медленно, ведь \(S\) растёт чрезвычайно быстро.
Разбор формулы
Уравнение имеет вид $$\sum_{j=0}^{n-1}\left(a+j\right)^{n} = b^{n}.$$ Чтобы избежать ложных срабатываний из-за погрешностей с плавающей запятой, калькулятор вычисляет \(S\) как точное длинное целое, находит число-кандидат \(b\) методом деления отрезка пополам, а затем перепроверяет \(b-1\), \(b\) и \(b+1\) точным условием \(b^n = S\). Для малых \(n\) известны решения: при \(n = 2\) — это \(3^2 + 4^2 = 5^2\) и \(20^2 + 21^2 = 29^2\); при \(n = 3\) — это \(3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3\).
Пример с разбором
Зададим nStart = 3, nEnd = 3, aStart = 1, aEnd = 10. При \(a = 3\) получаем $$S = 27 + 64 + 125 = 216,$$ а целочисленный кубический корень из \(216\) равен \(6\), причём \(6^3 = 216\). Калькулятор фиксирует: \(n = 3 \rarr a = 3,\ b = 6\).
Частые вопросы
Доказывает ли это гипотезу? Нет. Калькулятор лишь просматривает конечное окно в поисках контрпримеров; отсутствие находок доказательством не является.
Почему допускаются \(n = 2\) и \(n = 3\)? Для этих случаев решения известны, поэтому инструмент может их продемонстрировать, хотя утверждение об отсутствии решений касается только \(n \ge 4\).
Почему расчёт может прерваться по тайм-ауту? Сумма растёт примерно как \(n \cdot (a + n)^n\), поэтому большие диапазоны порождают гигантские числа — держите диапазоны умеренными.
