Что такое полный квадрат трёхчлена?
Полный квадрат трёхчлена — это квадратный многочлен, который можно записать как квадрат двучлена, например \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) или \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Для общего трёхчлена \(ax^2 + bx + c\) это возможно ровно тогда, когда его дискриминант равен нулю, то есть когда \(b^2 = 4ac\). Калькулятор принимает три коэффициента и мгновенно сообщает, является ли трёхчлен полным квадратом, а затем показывает разложение на множители.
Как пользоваться калькулятором
Введите коэффициент a (число перед \(x^2\)), b (число перед \(x\)) и c (свободный член). Инструмент вычислит \(b^2\) и \(4ac\), сравнит их и выдаст ответ «Да» или «Нет». Если трёхчлен является полным квадратом, отобразится разложение $$\left(\sqrt{a}\,x \pm \sqrt{c}\right)^{2}$$ где знак соответствует знаку коэффициента \(b\).
Разбор формулы
Раскрыв скобки в выражении \((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\), получаем \(a\,x^2 + 2\sqrt{ac}\,x + c\). Чтобы средний коэффициент совпал, нужно \(b = 2\sqrt{ac}\), а возведя обе части в квадрат, приходим к \(b^2 = 4ac\). Таким образом, проверка условия $$\text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} = \left(\sqrt{\text{a}}\,x \pm \sqrt{\text{c}}\right)^{2} \quad\text{iff}\quad \text{b}^{2} = 4\,\text{a}\,\text{c}$$ полностью равносильна проверке того, что у квадратного уравнения есть кратный (двойной) корень, — а это и есть определяющее свойство полного квадрата трёхчлена.
Разбор примера
Возьмём \(x^2 + 6x + 9\). Здесь \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 9\). Тогда \(b^2 = 36\) и $$4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36.$$ Поскольку \(36 = 36\), перед нами полный квадрат. При \(\sqrt{a} = 1\), \(\sqrt{c} = 3\) и положительном среднем члене разложение имеет вид \((x + 3)^2\). Проверим: $$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9. \checkmark$$
Частые вопросы
Что если a или c отрицательны? Для обычного действительного полного квадрата трёхчлена коэффициенты \(a\) и \(c\) должны быть неотрицательными, чтобы квадратные корни были действительными. Условие \(b^2 = 4ac\) по-прежнему показывает дискриминант, но представленное разложение на двучлен предполагает действительные корни.
Влияет ли знак b? Только на вид разложения: отрицательное \(b\) даёт \((\sqrt{a}\,x - \sqrt{c})^2\), положительное \(b\) — \((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\). Сама проверка на полный квадрат использует \(b^2\), поэтому знак не влияет на результат.
Почему b² должно быть в точности равно 4ac? Потому что у полного квадрата есть двойной корень. Любое другое значение дискриминанта означает два различных корня (или их отсутствие), и тогда трёхчлен нельзя свернуть в квадрат одного двучлена.
