Калькулятор выделения полного квадрата

Введите расчет

Коэффициент a

Коэффициент b

Коэффициент c

Для квадратного уравнения a·x² + b·x + c = 0 (a ≠ 0).

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Vertex (Completed Square Form)

   

   Vertex of the parabola; h is the axis of symmetry and k is the minimum or maximum value.

Результатов

Решения (действительные корни)

x₁ = 5
x₂ = 1

найдены методом выделения полного квадрата

Дискриминант (b² − 4ac)	16
Вершина x = −b/(2a)	3
Вершина y (минимум/максимум)	-4

Что такое выделение полного квадрата?

Выделение полного квадрата — это алгебраический приём, который позволяет переписать квадратное выражение \(ax^2 + bx + c\) в виде полного квадрата плюс свободный член. В такой форме легко увидеть корни уравнения и найти вершину параболы. Этот калькулятор применяет метод к любому квадратному уравнению при \(a \neq 0\) и выдаёт действительные корни, дискриминант и координаты вершины.

Выделение полного квадрата как площадь: добавление маленького углового квадрата завершает больший квадрат.

Как пользоваться

Введите три коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\) из вашего уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Калькулятор вычислит дискриминант \(b^2 - 4ac\). Если он равен нулю или положителен, отображаются два действительных корня (при нулевом дискриминанте они совпадают). Если дискриминант отрицателен, действительных решений нет, а корни комплексные.

Разбор формулы

Начнём с уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), разделим обе части на \(a\) и перенесём свободный член: \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\). Чтобы выделить полный квадрат, прибавим \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) к обеим частям и получим \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\). Извлекая корень и выражая \(x\), приходим к $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ — той самой знакомой формуле корней квадратного уравнения. Вершина параболы находится в точке \(x = -\frac{b}{2a}\).

Реклама

Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) с вершиной, осью симметрии и двумя действительными корнями.

Пример решения

Для уравнения \(x^2 - 6x + 5 = 0\) имеем \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Дискриминант равен $$(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.$$ Тогда $$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2,$$ то есть \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 1\). Вершина расположена в точке \(x = 3\), \(y = 9 - 18 + 5 = -4\).

Частые вопросы

Что делать, если дискриминант отрицательный? Парабола не пересекает ось \(x\), поэтому действительных корней нет — решения являются комплексными числами.

Почему коэффициент a не может быть равен нулю? При \(a = 0\) уравнение становится линейным, а не квадратным, и метод выделения полного квадрата к нему неприменим.

Что показывает вершина? Это нижняя точка параболы при \(a > 0\) (минимум) или верхняя точка при \(a < 0\) (максимум).